¿El espacio de módulo de curvas está definido sobre el campo con un elemento?

Question

Hay varios marcos, alrededor de la cual ampliar la categoría de anillos para incluir objetos más exóticos como el 'campo con un solo elemento,' $\mathbb{F}_1$. Mientras que estos marcos difieren en sus detalles, hay ciertas cosas que esto debe ser así para cualquier objeto que merece ser llamada $\mathbb{F}_1$. Por ejemplo, La algebraica de K-teoría de la $\mathbb{F}_1$ debe ser de la esfera del espectro, y la teoría de variedades tóricas deben ser definidos sobre los $\mathbb{F}_1$.

Pregunta 1: ¿existe una moral de la razón por la que el espacio de moduli de curvas debe (o no debe) ser definido más de Especificación de $\mathbb{F}_1$?

EDIT: Para cualquier persona que quisiera ser más concretos, estoy feliz de tomar el Toen-Vaquie definición de los esquemas de más de $\mathbb{F}_1$. (ver arXiv:matemáticas/0509684). En esta configuración (y la mayoría de los otros marcos sé) un esquema afín sobre $\mathbb{F}_1$ es sólo un conmutativa monoid $M$. Después del cambio de base de a $\mathbb{Z}$ esto se convierte en el monoid anillo de $\mathbb{Z}[M]$. Así que aquí es más preciso con la pregunta:

Pregunta 2: ¿el espacio de moduli de curvas de $\mathcal{M}_{g,n}$ (en $\mathbb{Z}$, dicen) admitir una tapicería afín a los gráficos de la forma espec $\mathbb{Z}[M_i]$ para conmutativa monoids $M_i$? Si es así, puede que esta cubriendo ser elegido de modo que (como en el caso de variedades tóricas) el encolado está determinado por los mapas de monoids?

Answer 1

Esta "respuesta" será, básicamente, repetir los comentarios de Marty y Jason Starr.

Cualquier variedad cubiertos por los esquemas de la forma $\mathrm{Spec}(\mathbf Z[M_i])$, o cualquier torified variedad, es racional. Y, de hecho, Severi conjeturado en un punto que $M_g$ es racional para cualquier $g$! Pero sabemos mucho acerca de la Kodaira dimensión de $M_g$ por el trabajo de Harris-Mumford, Farkas, Eisenbud, Verra, ... en particular, sabemos que Severi la conjetura es máximamente falso. Tenemos $\kappa(M_g) = -\infty$ para $g \leq 16$, no sabemos nada de $17 \leq g \leq 21$, e $\kappa(M_g) \geq 0$ para $g \geq 22$. De hecho sabemos que $M_{g}$ es de tipo general para $g = 22$ e $g \geq 24$. Pero si uno sólo quiere un ejemplo de una $g$ para que $M_g$ es no racional, entonces yo creo que uno puede encontrar ejemplos mucho antes (quizás $g \approx 6,7$?).

Ver http://arxiv.org/abs/0810.0702 para una encuesta de Farkas.

Por otra parte, la cohomology de un torified esquema sólo puede contener mixto Tate motivos. En particular, esto implica propiedades como: el número de $\mathbf F_q$de los puntos es una función polinómica de $q$. Como Marty dice que no hay problemas en el género cero; estos pueden ser honesto-a-Dios $\mathbf F_1$ esquemas. El cohomology de $M_{1,n}$ contiene sólo mixto Tate motivos al $n \leq 10$, pero para $n \geq 11$ uno encuentra motivos asociados a la cúspide de las formas para $\mathrm{SL}(2,\mathbf Z)$. (El número 11 se plantea como uno menos que el menor peso de un valor distinto de cero cúspide de la forma; el discriminante de la forma $\Delta$.) Esto implica que el polynomiality comportamiento cambia drásticamente -- el número de $\mathbf F_q$-puntos está dada por los coeficientes de Fourier de las formas modulares, que son mucho más complejas y contienen una gran cantidad de aritmética de la información.

La conexión con birational geometría es también muy visible aquí. El cohomology clases en $M_{1,n}$ asociado a la cúspide de las formas de peso $n+1$ son de tipo $(n,0)$ e $(0,n)$ en la Hodge realización, ya que dado un cúspide de la forma que uno puede escribir explícitamente abajo diferencial correspondiente formulario en las coordenadas. Así, por la definición misma de Kodaira dimensión que no pueden tener los $\kappa = -\infty$ más.

Bergström calcula la característica de Euler de $M_{2,n}$ en el grupo de Grothendieck de $\ell$-ádico representaciones de Galois por punto las técnicas de conteo. Es decir, él encontró fórmulas para el número de $\mathbf F_q$-puntos de $M_{2,n}$ trabajando realmente explícitamente con las formas normales para hyperelliptic curvas. Estas fórmulas resultó ser el polinomio en $q$ para $n \leq 7$ (y conjecturally para $n \leq 9$), tal como lo harían si supiéramos que el cohomology de $M_{2,n}$ contenía sólo mixto Tate motivos. Pensando un poco acerca de la estratificación de tipo topológico, uno llega a la conclusión de que esto vale también para $\overline M_{2,n}$ al $n \leq 7$, que es suave y adecuada sobre los enteros. A continuación, un teorema de van den Bogaart y Edixhoven implica que el cohomology de $\overline M_{2,n}$ es de todos, de la Tate tipo y con Betti los números dados por los coeficientes de los polinomios.

No hay resultados similares de Bergström, para $M_{3,n}$ al $n \leq 5$ y Bergström--Tommasi para $M_4$. Pero el fenómeno general es que el aumento de cualquiera de las $g$ o $n$ rápidamente se llevará a cabo en el mundo de la $\mathbf F_1$-planes, al menos si eso significa "conmutativa monoids".

Sin embargo, no sé lo suficiente $\mathbf F_1$ - geometría para decir lo que la respuesta es que si uno toma $\mathbf F_1$-planes en el sentido de Borger. El primer caso no trivial a la respuesta sería: son los motivos asociados a la cúspide de las formas para $\mathrm{SL}(2,\mathbf Z)$ definido a lo largo del $\mathbf F_1$ en su set-up? Para ser claros, no creo que esto es cierto, pero yo sabemos casi nada acerca de la $\lambda$-esquemas.

Permítanme hacer dos pequeñas observaciones: (i) Todo lo que he escrito anteriormente es necesario que las condiciones para ser definido a lo largo del $\mathbf F_1$. (ii) El hecho de que $M_{g,n}$ es suave sobre los enteros dice que el cohomology de $M_{g,n}$ es al menos bastante "especial", aunque no está definido sobre $\mathbf F_1$. La suavidad es una fuerte restricción en el Galois representaciones que pueden ocurrir en el cohomology.

Answer 2

Aquí un par de comentarios de la $\Lambda$ punto de vista en $\mathbf{F}_1$. (No podemos decir que un esquema se define sobre $\mathbf{F}_1$ si se admite una $\Lambda$-estructura. Si el sistema es estable en $\mathbf{Z}$, a $\Lambda$-estructura es equivalente a una de desplazamientos de los familiares de endomorphisms $\psi_p$, uno para cada número primo $p$, de tal manera que cada una de las $\psi_p$ está de acuerdo con la Frobenius mapa modulo $p$.)

Puedo demostrar en http://arxiv.org/abs/0906.3146 que si un esquema de finito de tipo más de $\mathbf{Z}$ se define sobre $\mathbf{F}_1$, entonces su móvil es puro Tate (o más bien se convierte en así que después del cambio de base a algunos cyclotomic campo - es en realidad falso en general sin esta calificación). Así como en Dan Petersen respuesta, $M_{g,n}$ no admitir a un $\Lambda$-estructura, a menos que el par $(g,n)$ es lo suficientemente pequeño.

Realmente no he pensado acerca de la pequeña de los casos, excepto un poco al $(g,n)=(1,1)$. A continuación, $M_{g,n}$ es sólo el afín a la línea, por lo que tiene muchas $\Lambda$-estructuras. Hasta donde yo sé, realmente no se puede decir que tienen algún significado, pero sospecho que todavía hay algo interesante que decir.

1) Hay un $\Lambda$-estructura en la realización de $\bar{M}_{1,1}$ en el punto en el infinito, que no tienen un significado. La conclusión es $\mathbf{Z}[[q-1]]$, y el $\Lambda$-estructura se define por $\psi_p(q)=q^p$, para todos los $p$. El interés de este es que esta $\Lambda$-estructura prolonga a un $\Lambda$-estructura en el universal generalizada de curva elíptica sobre $\mathbf{Z}[[q-1]]$ (es decir, la Tate de la curva). De lo que recuerdo, la idea es que un punto de $z\in\mathbf{C}^*/q^{\mathbf{Z}}$ debe ser asignado a su imagen $z^p\in\mathbf{C}^*/q^{p\mathbf{Z}}$. Haciendo de este riguroso no es difícil, aunque, por supuesto, usted tiene que tener una definición real de la Tate curva de más de $\mathbf{Z}[[q-1]]$, un punto que a menudo se cernía sobre.

Lo que creo que podría ser interesante es el estudio de la medida en la que estas $\Lambda$-estructuras de extenderse a todo el espacio de moduli. Aquí es una interpretación posible. Un $\Lambda$-estructura en un esquema de $X$ es equivalente a una sección de la proyección canónica $W_*(X)\to X$ en la satisfacción de un cierto asociatividad de la propiedad. ($W_*$ es el derecho medico adjunto del Witt vector functor $W^*$. Es una media aritmética analógica de un chorro de espacio.) Ahora, considere el mapa de $T\to X$ donde $T$ es la Tate arriba la curva de e $X$ es el espacio total de la universal de curva elíptica. (Esta es una pila. Habría que comprobar que todos estos $\Lambda$ e $W$ conceptos de sentido para las pilas.) Luego de la proyección de $W_*(X)\to X$ tiene una sección natural de más de $T$. Entonces podemos preguntar: ¿qué es el cierre de Zariski $Z$ de esta sección en $W_*(X)$? La medida en que $Z$ deja de ser una sección de $W_*(X)\to X$ debe ser algún tipo de medida de la medida en que el $\Lambda$-estructura en $T$ no extender a uno en $X$.

2) Uno podría tratar de hacer algo similar en CM de los puntos, en lugar de en el límite del espacio de moduli. CM curvas elípticas admitir una cierta versión generalizada de una $\Lambda$-estructura. (Ver el final de mi artículo citado más arriba.) Hacer estas generalizada $\Lambda$-estructuras se extienden a la formal barrio de la curva elíptica, en el universal de curva elíptica? Si es así, uno podría buscar en los cierres de formal secciones (como arriba) para ver la medida en que en ellos no se extienden a la generalizada $\Lambda$-estructuras en la totalidad universal de curva elíptica. Por todo esto, habría que fijar un imaginario cuadrática campo, así que todo esto es probablemente menos importante que en 1).

3) Thomas Scanlon trató de convencer a mí hace un par de años que la Hecke correspondencias tienen algún tipo de $\Lambda$ la naturaleza. De lo que recuerdo, había ciertas $\Lambda$-planes estrechamente relacionados a modular las variedades que no son finitos tipo pero que aún finito-dimensional en algún modelo teórico de sentido. Nunca he llegado a entender lo que quería decir (aunque yo siempre la intención de a). Tal vez esté relacionado con lo que he escrito arriba.

Así que hay un par de piezas de evidencia de que algo está pasando con $\Lambda$-estructuras modulares y curvas, aunque queda por ver si realmente se trata de un fenómeno de identificación personal y, si es así, lo interesante que es.