Perron-Frobenius "problema de valor propio inverso"

Question

El Perron-Frobenius teorema dice que el mayor autovalor de un real positivo de la matriz (todas las entradas positivas) es real. Por otra parte, que autovalor positivo vector propio, y es el único autovalor positivo autovector.

Ahora supongamos que queremos construir una positiva racional de la matriz con un particular Perron-Frobenius autovalor. Específicamente, considere la posibilidad de un real positivo algebraicas número $\lambda$ la cual es mayor en valor absoluto que todos los de su Galois conjugados. ¿Existe un racional positivo de la matriz $A$ con $\lambda$ como su Perron-Frobenius autovalor?

Answer 1

La respuesta a una más nítida pregunta de enteros, más que racionales, es afirmativa.

Deje $\lambda$ ser un real positivo algebraicas entero que es mayor en valor absoluto que todos sus Galois conjugados ("Perron número" o "PF número"). A continuación, $\lambda$ es el Perron–Frobenius autovalor de un número entero positivo de la matriz.

(A la inversa de la declaración es un entero versión de el Perron–Frobenius teorema, y es fácil de probar.)

En un poco más débiles de la forma (aperiódica no negativo de la matriz), este es el teorema de Douglas Lind, de

Las entropías de topológico de Markov turnos y una clase de enteros algebraicos. Ergodic Theory Dynam. Sistemas de 4 (1984), no. 2, 283--300 (MR)

No tengo una buena referencia para la forma fuerte, pero fue discutido en Thurston seminario en 2008-2009. Una cosa interesante a destacar es que, mientras que la prueba puede ser hecho constructivo, que no es uniforme: el tamaño de la matriz puede ser arbitrariamente grande en comparación con el grado de $\lambda$.

Answer 2

Tal vez usted está pensando de la forma fuerte dado en el Roy Adler conferencia Dinámica simbólica y Sus Aplicaciones (de la Matemática Contemporánea) [1992].

Uno de los papeles no por que me estaba respondiendo a una pregunta de Doug Lind, para demostrar que si $\lambda $ supera el valor absoluto de su algebraicas conjugados, a continuación, aparece como el Perron autovalor de una primitiva entero de la matriz. En general, usted puede colocarlo de manera que el cero del espectro consta de $\lambda$ y sus conjugados (multiplicidad uno de cada curso), junto con por lo general un gran número de $1$s. La presencia de muchos más valores propios (por lo tanto no hay ningún control sobre el tamaño de la realización de la matriz) es necesario, ya que también debemos tener $\text{tr} A^n \geq 0$ para todos los $n$ (y los de otras condiciones) si $A$ es un primitivo entero de la matriz.

Answer 3

Para el problema de la construcción de una estrictamente positivo real de la matriz de $A$ del tamaño de la $N \times N~$ con Perron-Frobenius autovalor $\lambda$, ofrezco la siguiente solución sin la prueba:

Elija cualquier estrictamente positivo real del vector columna $\pi$ de la longitud de la $N~$ s.t. $||\pi||_1 = \lambda$.

A continuación,$A = \left|\begin{array}{ccc} \pi & \pi & ... & \pi \end{array}\right|$, es decir, el $N \times N$ matriz con cada columna igual a $\pi$.

$\lambda$ es el Perron-Frobenius autovalor de la matriz $A$ y el correspondiente vector propio es $\pi$.

(nota: esto implica una familia de soluciones para cualquier $\lambda$, sin embargo no tengo la pretensión de que estas son las únicas soluciones)