¿Qué es, en realidad, la categoría de homotopía estable?

Question

Cuando intentas entender la controversia detrás de las nuevas buenas categorías de espectros que surgieron en los años 90, lees cosas como el siguiente párrafo escrito por Peter May (de "La Liebre y la Tortuga"):

Todos los consumidores están de acuerdo: la categoría estable de homotopía de Mike es definitivamente la correcta, hasta la equivalencia. Sin embargo, la liebre realmente fanática exige una buena categoría incluso antes del paso a la homotopía, con todas las campanas y silbidos modernos. La categoría ideal de espectros debería ser una categoría de modelo de Quillen completa y cocompleta, tensorizada y cotesorada sobre la categoría de espacios basados (o conjuntos simpliciales), y cerrada simétricamente monoidal bajo el producto smash. Su categoría de homotopía (obtenida al invertir las equivalencias débiles) debería ser equivalente a la categoría de homotopía estable original de Mike.

Aquí "Mike" es Michael Boardman. La pregunta número cero sería, ¿podría alguien compartir las notas mimeografiadas de "Teoría de Homotopía Estable" de Boardman donde él introduce dicha categoría? Ambas, esas y "La categoría de homotopía estable de Boardman" de Vogt, son difíciles de encontrar, por lo que me resulta difícil saber de qué están hablando.

Pero supongamos que sé qué es la categoría de homotopía estable de Boardman. ¿Por qué debería estar de acuerdo en que esta es "la" categoría de homotopía estable correcta, hasta la equivalencia?

Estoy imaginando que la forma correcta de formalizar lo que quiero decir es: elaborar un desiderata para una Categoría de Homotopía Estable, demostrar que Boardman la satisface, y luego demostrar que cualquier dos categorías que cumplan con esos axiomas son equivalentes.

¿Se ha hecho eso? De ser así, ¿dónde?

Puedo intentar responder mi pregunta. El libro de Margolis "Espectros y el Álgebra de Steenrod" de 1983 tiene una lista de axiomas de ese tipo, en la sección 1.2.

¿Es esa una lista idiosincrática de axiomas o realmente es lo que los teóricos de la homotopía de la época estarían de acuerdo en que es exactamente lo que hubieran querido?

Sé que esto quizás sea argumentativo. Pero lo siguiente no lo es. Al final de dicho capítulo en el libro de Margolis, él postula que cualquier dos categorías que cumplan con esos axiomas son equivalentes. Pero en ese momento, aparentemente no se había establecido.

¿Se ha establecido desde entonces?

Pero tal vez hay otra caracterización de "la" categoría de homotopía estable, de la cual la de Boardman (o la de Adams, o...) sería un ejemplo; también me interesaría eso.

Tengo una ligera conciencia del hecho de que hay una propiedad universal estable $\infty$-categórica. Eso ciertamente es interesante, pero me gustaría ver cómo podría formularse en un lenguaje más antiguo (¿categorías de modelos?) ya que tal formulación, en el espíritu de mi pregunta, es anacrónica. (No es que la encontraría no interesante).

Answer 1

Tengo una ligera conciencia del hecho de que hay una propiedad universal estable -categórica. Eso es ciertamente interesante, pero me gustaría ver cómo se podría formular en un lenguaje más antiguo (¿model categories?)

Las espectros simétricos tienen una propiedad universal categórica de modelo: forman la categoría inicial de modelo monoidal estable (teorema de Shipley). Una sutileza es que esta afirmación es válida con la estructura de modelo estable positiva, pero al menos esto es equivalente a Quillen a la usual y captura la misma teoría de homotopía.

Al final de dicho capítulo en el libro de Margolis, él conjectura que cualquier par de categorías que satisfacen esos axiomas son equivalentes. Pero en ese momento, aparentemente no estaba establecido.

¿Se ha establecido desde entonces?

Shipley también muestra que cualquier categoría que satisfaga los axiomas de Margolis que realmente provenga de una categoría de modelo monoidal estable, debe ser equivalente a la categoría de homotopía estable (como una categoría monoidal). Eso prácticamente resuelve la conjetura de Margolis diría yo, ya que ahora todos están de acuerdo en que las categorías trianguladas simplemente no son suficientes para este tipo de preguntas.

El artículo relevante de Shipley se llama Monoidal Uniquness of Stable Homotopy theory.

Aquí hay algunos datos curiosos adicionales:

• Dado un objeto en una $\infty$-categoría monoidal simétrica, existe un funtor universal que es inicial entre los funtores monoidales simétricos que invierten el objeto dado. La $\infty$-categoría monoidal simétrica de espectros se obtiene a partir de espacios punteados con producto smash al invertir formalmente $S^1$ de esta manera. (La $\infty$-categoría monoidal simétrica de espacios punteados, a su vez, se obtiene a partir de espacios con producto cartesiano al poner puntero libremente). Ver este artículo de Robalo.

• Dado un derivador de Grothendieck (otra forma de llevar un registro de las (co)límites homotópicas en una categoría homotópica), existe un derivador estable universal asociado a él. Tomando el derivador de espacios, esto da el derivador estable de espectros. Además, cada derivador estable está canónicamente enriquecido sobre el derivador de espectros. Ver el apéndice de este artículo de Cisinski y Tabuada. El lenguaje de los derivadores es bastante elemental (¡no se usa teoría de homotopía!) y es bastante antiguo (principios de los años 80).