¿Cuál es, realmente, la categoría de homotopía estable?

Question

Cuando intenta entender el alboroto detrás de la nueva buena categorías de espectros que surgió en la década de los 90, se leen cosas como el siguiente párrafo escrito por Pedro Mayo (de "La Liebre y la Tortuga"):

Todos los consumidores están de acuerdo: Mike estable homotopy categoría es definitivamente la de la derecha, arriba a la equivalencia. Sin embargo, los realmente fanáticos hare demandas una buena categoría, incluso antes de la aprobación de homotopy, con todas las modernas campanas y silbatos. El ideal de la categoría de los espectros debe ser completa y cocomplete Quillen modelo de la categoría, la tensored y cotensored sobre la categoría de la base de espacios (o simplicial conjuntos), y cerrado monoidal simétrica bajo el smash producto. Su homotopy categoría (obtenida por la inversión de los débiles equivalencias) debe ser equivalente a Mike original estable homotopy categoría.

Aquí "Mike" es Michael Boardman. La pregunta número cero sería, podría alguien compartir Boardman es "Estable homotopy la teoría de la" copia mimeográfica de notas donde se introduce dijo categoría? Tanto que y Vogt del "Boardman estable homotopy categoría" son difíciles de encontrar, así que es difícil para mí saber de qué están hablando.

Pero supongamos que yo sé lo que Boardman estable homotopy categoría. ¿Por qué debo de acuerdo en que este es "el" derecho estable homotopy categoría, hasta equivalencia?

Supongo que es el camino correcto para formalizar lo que quiero decir es: elabore una desiderata para una Estable Homotopy Categoría, demostrar que Boardman la satisfaga, y luego demostrar que cualquiera de las dos categorías de la satisfacción de esos axiomas son equivalentes.

Ha que ha hecho? Si es así, ¿dónde?

Puedo tratar de contestar a mi pregunta. Margolis libro "los Espectros y el Álgebra de Steenrod" desde 1983 tiene una lista de axiomas, en la sección 1.2.

Es que un caprichoso lista de axiomas o es realmente lo que homotopy los teóricos de la época estaría de acuerdo en que es exactamente lo que ellos habrían querido?

Sé que esto es tal vez argumentativo. Pero el siguiente no lo es. Al final de dicho capítulo en Margolis libro, él conjeturas de que cualquiera de las dos categorías de la satisfacción de esos axiomas son equivalentes. Pero en el momento, al parecer no estaba establecido.

Se ha establecido desde entonces?

Pero tal vez hay otra caracterización de "la" estable homotopy categoría, de los cuales Boardman (o de Adams', o...) sería un ejemplo; me interesaría por eso, también.

Estoy medianamente consciente del hecho de que hay una estable $\infty$categoría universal de la propiedad. Que es sin duda interesante, pero me interesaría ver cómo podría ser formulado en mayores de un idioma (categorías de modelo?) desde dicha formulación es, en el espíritu de mi pregunta, anacrónico. (No es que me sería interesante).

Answer 1

Estoy medianamente consciente del hecho de que hay una estable ∞-categórica universal de los bienes. Que es sin duda interesante, pero me interesaría ver cómo podría ser formulado en mayores de un idioma (categorías de modelo?)

Simétrica espectros tienen un modelo categórico universal de los bienes: se forma de la inicial estable monoidal modelo de la categoría (teorema de Shipley). Una sutileza es que esta afirmación se sostiene con la positiva estable la estructura del modelo, pero al menos esta es Quillen equivalente a la usual y por lo capta la misma homotopy teoría.

Al final de dicho capítulo en Margolis libro, él conjeturas de que cualquiera de las dos categorías de la satisfacción de esos axiomas son equivalentes. Pero en el momento, al parecer no estaba establecido.

Se ha establecido desde entonces?

Shipley también muestra que cualquier categoría de la satisfacción de Margolis los axiomas de que en realidad proviene de una estable monoidal modelo de la categoría, debe ser equivalente a la estable homotopy género como una categoría monoidal). Que bastante resuelve Margolis la conjetura yo diría, ya que por ahora todo el mundo está de acuerdo en que triangulaba categorías no son suficientes para este tipo de preguntas.

El papel relevante de Shipley se llama Monoidal Uniquness de Estable Homotopy teoría.

Aquí están algunos funky bono hechos:

• Dado un objeto en un monoidal simétrica $\infty$-categoría, existe un universal functor que es inicial entre monoidal simétrica functors que invertir el objeto dado. El monoidal simétrica $\infty$-categoría de los espectros se obtienen de punta espacios con smash producto por formalmente invirtiendo $S^1$ de esta manera. (El monoidal simétrica $\infty$-categoría de punta espacios es a su vez obtenidos a partir de los espacios con producto cartesiano libremente, señalando.) Consulte este artículo de Róbalo.

• Dado un Grothendieck derivator (otra forma de seguir la pista de homotopy (co)límites en un homotopy categoría), existe un universal estable derivator asociados a ella. Tomando el derivator de espacios, esto le da a la estable derivator de los espectros. También, cada estables derivator es canónicamente enriqueció a lo largo de la derivator de los espectros. Ver el apéndice de este documento de Cisinski y Tabuada. El lenguaje de derivators es muy elemental (no homotopy teoría usada!) y es bastante viejo (a principios de los 80).