¿Cómo reconocemos un número entero dentro de los racionales?

Question

Mi pregunta es bastante simple, y a primera vista puede parecer un poco tonto, pero no te apartes de mí. Si se nos dan los racionales, y podemos escoger un elemento que, ¿cómo podemos reconocer si lo que elegimos es un número entero?

Algunas respuestas obvias que podemos pensar son:

A. Escribir en términos mínimos, y comprobar el denominador es 1.

B. Compruebe que el p-ádico de valoración es no negativo, para todos los p.

C. Decidir si el número es positivo (o negativo) y añadir 1 a -1 o a sí mismo) hasta que sea más grande que el racional que has elegido. (Si estos múltiplos nunca igualado su racionales, entonces usted escogió una enteros.)

Cada uno de estos métodos tiene ventajas y desventajas. Por ejemplo, en la opción a presuponemos sabemos cómo escribir cualquier número racional q como un cociente de enteros y reducir. En C, tenemos problemas con los tiempos de parada. etc..

Para proporcionar un contexto para mi pregunta: sabemos, por el trabajo de Davis y Putnam, Robinson, y Matijasevic, que el positivo existencial de la teoría de la $\mathbb{Z}$ es indecidible. La misma pregunta para $\mathbb{Q}$ no es del todo contestado. Una aproximación a esta nueva pregunta, es para mostrar que, con muy pocas cuantificadores, se puede describir el conjunto de números enteros dentro de los racionales; y, a continuación, reducir el número entero caso. Ver, por ejemplo, Bjorn Poonen del documento "Caracterización de los números enteros entre números racionales con un universal-existencial de la fórmula." Allí, se encuentra una manera de describir el p-valoración de un número racional (es decir, él encuentra una manera de codificar la opción B en el lenguaje de los cuantificadores y los polinomios en los racionales). Me pregunto si hay otras caracterizaciones de los enteros que iba a seguir su ejemplo.

Answer 1

Los enteros pueden ser, de hecho, se define en el campo racional, pero no en el ámbito real.

La pregunta puede ser hecha precisa mediante la introducción de algunas herramientas de primer orden de la lógica. Lo que usted está preguntando acerca de la definability de los enteros dentro de los racionales. Por ejemplo, si usted podría considerar el campo racional de la estructura ⟨Q,+,.,0,1⟩ y preguntar si los enteros son definidos por un primer orden de la orden de la fórmula en esta estructura. Es decir, hay un primer orden de la fórmula φ(x) tal que esta estructura satisface φ(x) si y sólo si x es un número entero? La respuesta es sí, y este papel parece ser acerca de la investigación de la complejidad de la definición.

El hecho de que Z es definible en Q impies que la teoría del campo racional no es una decidable teoría. Que es, puede ser que no computable algoritmo que correctamente nos dice si una determinada proposición es o no en el campo racional. La razón es que si hemos tenido un algoritmo, a continuación, utilizando la definability de los números enteros, que sería capaz de decir si o no una instrucción aritmética a cabo o error en los números naturales, y con esto, nos gustaría ser capaces de resolver la paralización problema, lo cual es imposible.

Esta situación contrasta fuertemente con el real campo ⟨R,+,.,0,1⟩, su teoría ES decidable. De hecho, Tarski demostró que la teoría de la real cerrada (ordenada) campos ⟨R,+,.,0,1,<⟩ es decidable. De ello se desprende que ni los enteros ni los racionales son de primer orden definible en el real ordenó campo.

(Permítanme, por último, señalar que las sugerencias que se hacen para la definición no son de primer orden de las definiciones, y que pueda sufrir la crítica, como en algunos de los comentarios, que se pide en la pregunta acerca de cómo los enteros están implícitos en su estructura. El concepto de primer orden definability parece evitar estas críticas, mientras que aclarar tanto la pregunta y las respuestas.)

Answer 2

Aquí hay una manera: demuestre que el número racional es un entero algebraico. Esto puede sonar como una idea tonta, pero tiene aplicaciones no triviales. Un número racional es un entero si tiene una expresión como una suma de productos de enteros algebraicos. Consulte, por ejemplo, la Prop. 5 en el apéndice de Grupos y representaciones de JL Alperin y Rowen B. Bell, donde esto se utiliza para demostrar que, para un carácter irreducible$\chi$ de un grupo finito$G$ ,$\chi(1)$ divide$|G|$.

Answer 3

Acabo de encontrar el siguiente artículo: Definiendo Z en Q

Utiliza otra caracterización de los enteros dentro de los racionales que ninguno de nosotros enumeró, quizás porque es tan trivial. Es decir, los enteros son el complemento del conjunto$\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$! Aparentemente, este hecho básico se usa bien en el documento.

Answer 4

Soy un poco nuevo en esto así que no podría saber exactamente lo que estás preguntando.

Creo que hay una conjetura de Mazur que implica el tipo de descripción de $\Bbb Z$ usted está buscando es imposible.

Este papel por Poonen sería un buen lugar para empezar. Por supuesto Poonen sería capaz de dar mucho más satisfactoria respuesta. Yo sólo alcanzado el final de su charla acerca de esto en las Reuniones Conjuntas.

EDITAR:

Aquí Cornelissen y Zahidi muestran que Mazur de la conjetura en el real de la topología de puntos racionales sobre las variedades implica que no hay diophantine modelo de $\Bbb Z$ sobre $\Bbb Q$. También muestran que el análogo de Mazur, la conjetura es falsa en la función de campo de caso, donde Hilbert de la Décima parte de una respuesta negativa.

Answer 5

Estoy muy oxidado en esto, pero creo que hay que ser muy cuidadoso en la forma de plantear esta pregunta. El aleccionador ejemplo para permanecer cuenta es que si bien no hay un conjunto completo de primer orden de los axiomas de los números enteros, el estándar de los axiomas de los números reales son conocidos para ser a la vez consistente y completa. La razón de esto puede ser es exactamente porque no hay ninguna manera en el primer fin de lógica para identificar los números enteros como un subconjunto de los reales.

Si la definición de los racionales como clases de equivalencia de razones, entonces #1 parece ser el mejor enfoque. Si tienes algo más abstracto axiomatization de los racionales, no es claro para mí que hay una respuesta dentro de la lógica de primer orden.