¿Cuáles son los principales teoremas de estructura de los monoides conmutativos de generación finita?

Question

Debería leer el libro de J. C. Rosales y P. A. García-Sánchez Monoides conmutativos de generación finita y el libro de L. Redei Teoría de los semigrupos conmutativos de generación finita . No lo he hecho. Pero esto es lo que he oído hasta ahora:

• Si un monoide conmutativo está finitamente generado, está finitamente presentado.

• Los monoides conmutativos generados finitamente tienen problemas de palabras decidibles, el problema de isomorfismo para ellos es decidible, y de hecho la teoría de primer orden de los monoides conmutativos generados finitamente es decidible .

• Si un monoide conmutativo finitamente generado es cancelativa ( $a + b = a' + b \Rightarrow a = a'$ ) entonces se incrusta en un grupo abeliano finitamente generado.

• Si un monoide conmutativo finitamente generado es cancelativo y sin torsión ( $a + a + \cdots + a = 0 \Rightarrow a = 0$ ) entonces se incrusta en un grupo abeliano libre finitamente generado. (Esto se deduce fácilmente de la afirmación anterior).

• Si un monoide conmutativo es un submonoide de $(\mathbb{N},+,0)$ se denomina monoide numérico y por supuesto es cancelable. Se sabe mucho sobre los monoides numéricos, aunque no creo que hayan sido "clasificados" en ningún sentido útil.

Si eliminamos la propiedad de ser cancelativa, obtenemos una enorme cantidad de monoides conmutativos generados finitamente, por lo que no debería haber ningún "teorema de clasificación" sencillo. Pero todavía puede haber interesantes teoremas de estructura que nos ayuden a entender este desierto, al igual que los hay para (digamos) los grupos abelianos topológicos compactos. ¿Cuáles son?

Answer 1

Los comentarios se están haciendo un poco largos así que pondré esto como una respuesta parcial. El caso de los semigrupos conmutativos regulares de von Neumann fue tratado por Clifford en los años 40. Un semigrupo es regular de von Neumann si para todo $a$ existe $b$ con $aba=a$ . Clifford demostró que un semigrupo regular conmutativo es lo mismo que un par $(E,F)$ donde $E$ es un poset con encuentros binarios y $F$ es una preforma de grupos abelianos en $E$ . Si el semigrupo es un monoide finitamente generado, entonces $E$ será un entramado finito.

Por ejemplo, dado dicho par, el conjunto subyacente del semigrupo es la unión disjunta de los $F(e)$ con $e$ en $E$ (por lo que el conjunto de flechas del fibrado discreto asociado). El producto de $a \in F(e)$ con $b \in F(e')$ se obtiene restringiendo ambos elementos al encuentro de $e$ y $e'$ y llevar su producto.

Las descomposiciones más generales de la semilattice en los comentarios no son tan buenas como esta.

Answer 2

Echa un vistazo a Grillet's Semigrupos conmutativos . Dejemos que $C$ sea un semigrupo conmutativo. El esquema de la teoría de la estructura es el siguiente:

• Como dice arsmath, $C$ se descompone como un semilatino de semigrupos arquimédicos. El semilattice relevante es el semilattice universal $C_S = C / (2=1)$ en $C$ . La descomposición es la siguiente: las fibras del mapa universal $C \to C_S$ son semigrupos arquimédicos, llamados componentes arquimédicos de $C$ .

  • Si $C$ es de generación finita, entonces también lo es $C_S$ y por lo tanto $C_S$ es finito.

• $C$ se dice que completa si cada componente arquimediano contiene un idempotente, y subcompleta si cada componente arquimediano se incrusta en un semigrupo arquimediano completo. Un semigrupo arquimédico siempre contiene como máximo un idempotente, por lo que $C$ es completo si el mapa compuesto $C^S \to C \to C_S$ (que siempre es inyectiva) es un isomorfismo. Aquí $C^S = \{x \in C \mid 2x=x\}$ es el semilatino co-universal en $C$ es decir, el semilatino de idempotentes en $C$ .

  • Si $C$ es de generación finita, entonces $C$ es subcompleta, y sus componentes arquimédicos son de generación finita. Por lo tanto, a pesar de la observación de arsmath de que los semigrupos conmutativos arquimédicos generales son complicados, para el caso de generación finita, podemos centrarnos en la clase más manejable de semigrupos conmutativos arquimedianos subcompletos .

• Si $C$ es arquimediano completo, entonces se descompone como una extensión ideal $G \to C \to N$ donde $G$ es un grupo y $N$ es nilpotente es decir $N$ tiene un elemento absorbente -- un elemento $\infty \in N$ tal que para cada $x\in N$ , hay $n \in \mathbb N$ tal que para todo $m \geq n$ , $mx = \infty$ . Si $C$ es arquimediano subcompleto, entonces tiene una descomposición similar donde $G$ es cancelativa .

  • Si $C$ es de generación finita y arquimédica, entonces en la descomposición $G \to C \to N$ , $G$ es de generación finita, pero $N$ en general es no . Los semigrupos conmutativos cancelativos de generación finita son bien conocidos (son productos de grupos finitos y conos en $\mathbb Z^n$ ), por lo que esa parte de la estructura es comprensible. Pero esta parte nilpotente es más misteriosa, creo.

Poniendo todo junto, si tienes un semigrupo conmutativo finitamente generado $C$ entonces se puede pensar en ella como un entramado finito de un montón de grupos abelianos finitos dotados de ciertos conos positivos, cada uno de los cuales tiene un semigrupo conmutativo nilpotente sobre el que actúa, con homomorfismos entre éstos correspondientes a las relaciones en el entramado.

Answer 3

Permítanme añadir a las respuestas anteriores algunas propiedades importantes del subconjuntos racionales . El racional subconjuntos de un monoide $M$ forman la clase más pequeña de subconjuntos de $M$ que contiene los monotonos y es cerrado bajo unión finita, producto y estrella (estrella = submonoide generado). Por construcción, los conjuntos racionales son cerrados bajo unión finita, producto y estrella, pero no son en general cerrados bajo complemento.

Sin embargo, si $M$ es un monoide conmutativo finitamente generado:

(1) Toda congruencia en $M$ es un subconjunto racional de $M \times M$ .

(2) Los subconjuntos racionales de $M$ son cerrados bajo operaciones booleanas (unión finita, intersección finita y complemento).

(3) Todo subconjunto racional de $M$ es inequívocamente racional.

1] S. Eilenberg y M.P. Schützenberger, Rational sets in commutative monoids. J. Álgebra 13 (1969) 173-191. doi:10.1016/0021-8693(69)90070-2

P.D. Subconjuntos inequívocamente racionales : la misma definición que para los subconjuntos racionales, pero sólo se permiten versiones inequívocas de las tres operaciones.
(a) Unión inequívoca = unión disjunta.
(b) Producto inequívoco $XY$ : si $x_1, x_2 \in X$ , $y_1, y_2 \in Y$ y $x_1x_2 = y_1y_2$ entonces $x_1 = x_2$ y $y_1 = y_2$ .
(c) Estrella inequívoca $X^*$ el monoide $X^*$ es gratuito con la base $X$ .

Answer 4

Como han mencionado un par de personas, los semigrupos conmutativos pueden descomponerse como retículos de semigrupos arquimédicos. Tengo la impresión de que no existe un resultado de clasificación general para los semigrupos arquimédicos, pero hay un resultado razonablemente sólido de Tamura:

http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195522174