Teoría y física de la homotopía estable

Question

En varios puntos de mi vida, he llevado a cabo las siguientes creencias:

1) Estable homotopy teoría es "fácil" de manera racional, y "muy interesante" de una forma integral.

2) El espectro de topológica de las formas modulares (TMF) es un objeto que estable homotopy teóricos están tratando de comprender integralmente.

3) TMF tiene muchas conexiones a la física.

4) Las matemáticas relevantes para la física es una "racional" de la historia, y no se preocupa mucho acerca de integral o de torsión aspectos.

Tomados en conjunto, este conjunto de creencias es evidentemente incompatible. Pero yo no poseen el conocimiento, especialmente en la física, para saber cual de ellas es incorrecta (creo que la última). Estaría agradecido si alguien puede aclarar la situación. Gracias.

EDITAR (8/31/17): agradezco los comentarios y respuesta. Parece que el problema, de hecho, se encuentra con (4). Pero me encantaría un ejemplo que explica una conexión entre la física y la integral de los aspectos del estudio de TMF.

Answer 1

Hay una interesante aplicación de estable homotopy teoría de la física de materia condensada, y hace un uso intensivo de la integral y de la torsión de la información, contradiciendo su 4^ª asunción.

Dentro del programa general de comprensión topológica de las fases de la materia condensada de la materia teóricos interesados en la simetría protegido topológico fases (SPT fases). Aproximadamente hablando, estos son los sistemas que han interesante topológico comportamiento en presencia de una simetría, pero que se vuelven triviales cuando que la simetría se rompe. Su clasificación por lo que poco a poco ha conseguido más homotopical:

• Kitaev usos reales y complejos $K$-de la teoría a clasificar los aislantes topológicos y los superconductores. Liberado-Moore después generalizado de este a twisted equivariant $K$-teoría.
• Kapustin y Kapustin-Thorngren-Turzillo-Wang uso $\mathit{MSpin}\wedge\mathit{BG}$ a clasificar fermionic SUBCOMITÉ fases con el grupo de simetría $G$.
• Liberados y Liberadas Hopkins clasificar SPTs como homotopy clases de mapas $$[\mathit{MTH}, \Sigma^{n+1}I_{\mathbb Z}],$$ donde $\mathit{MTH}$ es el Madsen-Tillmann espectro (una especie de Thom espectro) para el tipo de simetría $H$ e $I_{\mathbb Z}$ es la de Anderson doble de la esfera. La derivación utiliza algunos equivariant estable homotopy teoría, y los cálculos utilizan el Adams espectral de la secuencia.

En todos estos ejemplos, la torsión de la información es esencial: $\mathbb Z/2$ clasificación significa que hay una fase en la que es trivial, pero tales que dos ejemplares de la misma apilados juntos puede ser continuamente deforme a un trivial de fase. Ejemplos de estas fases han ido apareciendo en los condensados de la materia teoría y se espera que para mostrar este comportamiento en los experimentos.

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Hay otros lugares integral de información es, así, la integral: por ejemplo, si un electrón se mueve en un bucle $\ell$ alrededor de un monopolo magnético, el valor de la acción depende de la liquidación número de $\ell$, la producción de invariantes discretos.