¿Por qué el principio de incertidumbre no es así?

Question

En Griffiths' QM, usa dos de las desigualdades (aquí numerado como $(1)$$(2)$) para probar el siguiente general el principio de incertidumbre: $$\sigma_A^2 \sigma_B^2\geq\left(\frac{1}{2i}\langle [\hat A ,\hat B]\rangle \right)^2$$

la definición de $\lvert f\rangle=(\hat A-\langle A\rangle)\lvert \Psi\rangle$$\lvert g\rangle=(\hat B-\langle B\rangle)\lvert \Psi\rangle$, usa

• Schwarz desigualdad: $$\langle f\lvert f\rangle\langle g\lvert g\rangle\geq|\langle f\lvert g\rangle|^2\tag{1}$$ y con $\sigma_B^2=\langle g\lvert g\rangle$$\sigma_A^2=\langle f\lvert f\rangle$, llega a la $\sigma_A^2 \sigma_B^2\geq|\langle f\lvert g\rangle|^2$.

• el hecho de que para cualquier número complejo a $z$ hemos $$|z|^2\geq(Im(z))^2=[\frac{1}{2i}(z-z^*)]^2\tag{2}$$ aquí $z=\langle f\lvert g\rangle$$z^*=\langle g\lvert f\rangle$ , y nos encontramos con que $\langle f\lvert g\rangle=\langle\hat A \hat B\rangle-\langle A \rangle\langle B \rangle$$\langle g\lvert f\rangle=\langle\hat B \hat A\rangle-\langle A \rangle\langle B \rangle$, lo $\langle f\lvert g\rangle-\langle g\lvert f\rangle=\langle [\hat A,\hat B]\rangle$. Sustituyendo esto en $(1)$ da el principio de incertidumbre.

Por qué no se uso $$|z|^2\geq(Re(z))^2=[\frac{1}{2}(z+z^*)]^2$$ en lugar de $(2)$? Esto nos podría dar una correcta aunque diferentes) relación entre el $\sigma_A$ $\sigma_B$ demasiado: $$\boxed{\sigma_A^2 \sigma_B^2\geq\frac{1}{4}\left(\langle \hat A \hat B\rangle +\langle \hat B \hat A\rangle -2 \langle \hat A\rangle\langle \hat B\rangle\right)^2}$$

Answer 1

Griffiths " formulación hace explícito el hecho de que los operadores que conmutan son no restringida por el principio de incertidumbre. En su caja expresión oculta este físico y matemático de conocimiento.

Answer 2

La mayoría de la correcta relación es la siguiente en general la relación, que en realidad contiene dos términos.

Si se omite la desigualdad $(|z|^2\geq(Im(z))^2)$ a partir de la derivación, los próximos pasos hacia la incertidumbre en relación sería:
$$\sigma_A^2 \sigma_B^2\geq|\langle f\lvert g\rangle|^2$$ $$|\langle f\lvert g\rangle|^2=\langle f\lvert g\rangle\langle g\lvert f\rangle=(\langle A B\rangle-\langle A\rangle \langle B\rangle)(\langle B A\rangle-\langle A\rangle \langle B\rangle)$$ $$|\langle f\lvert g\rangle|^2=\langle A B\rangle \langle B A\rangle+(\langle A\rangle \langle B\rangle)^2-\langle A\rangle \langle B\rangle(\{A,B\})\to$$ $$\boxed{\sigma_A^2 \sigma_B^2\geq\langle A B\rangle \langle B A\rangle+(\langle A\rangle \langle B\rangle)^2-\langle A\rangle \langle B\rangle(\{A,B\})}$$ La anterior relación puede ser escrita como mejor $$|\langle f|g\rangle|^{2} = \bigg(\frac{\langle f|g\rangle+\langle g|f\rangle}{2}\bigg)^{2} + \bigg(\frac{\langle f|g\rangle-\langle g|f\rangle}{2i}\bigg)^{2}$$ $$\langle f|g\rangle-\langle g|f\rangle =\langle [{A},{B}]\rangle$$ $$\langle f|g\rangle+\langle g|f\rangle = \langle \{{A},{B}\}\rangle -2\langle {A}\rangle\langle {B}\rangle\to$$ $$\boxed{\sigma_A^2 \sigma_B^2\geq\Big(\frac{1}{2}\langle\{{A},{B}\}\rangle - \langle {A} \rangle\langle {B}\rangle\Big)^{2}+ \Big(\frac{1}{2i}\langle[{A},{B}]\rangle\Big)^{2}}$$ Así, Griffiths omite el primer término en la anterior relación. Queda por saber por qué lo hace. La respuesta está previsto en el último párrafo de la Lubos Motl, la respuesta a esta pregunta:

Así, en casos normales, la versión más fuerte no es "terriblemente" útil debido a que el anticommutator término sólo es distinto de cero si hay un "correlación" en las distribuciones de $A,B$ - es decir, si la distribución de es la "inclinación" de la $A,B$ plano más que similar a la de un vertical-horizontal de la elipse, que es generalmente el caso en simple onda paquetes etc. Tal vez esto es lo que quería oír como la física explicación de la anticommutator plazo - debido a $AB+BA$ es sólo dos veces el Hermitean parte de $AB$, mide la correlación de $A,B$ en la distribución dada por la función de onda - a pesar de la precisión el significado de estas palabras tiene que ser determinado por la fórmula.