Problemas abiertos desde la antigüedad resueltos con geometría analítica

Question

E. T. Bell escribió en los Hombres de las Matemáticas:

Aunque la idea detrás de todo es infantilmente simple, sin embargo, el método de la geometría analítica es tan poderosa que es muy común que los chicos de diecisiete puede utilizar para probar resultados que habrían desconcertado, el mayor de los geómetras griegos -- Euclides, Arquímedes y Apolonio.

Yo no necesariamente creen que todo en el libro, pero en este pasaje suena bastante plausible para que me pregunto.

Hay buenos ejemplos de un problema abierto de la antigüedad, que parecía inaccesible, pero más tarde fue resuelto fácilmente por convertirlo en el plano Cartesiano?

Answer 1

Un problema clásico en esta categoría es Alhazen del billar problema. Reproduzco una cita de 100 Grandes Problemas de la Matemática Elemental. El problema no podía ser resuelto usando el compás y la regla, porque su solución requiere tomar una raíz cúbica (ver referencias en MathWorld).

Answer 2

Este documento contiene una muy legible de la cuenta de Descartes invención de la geometría analítica y describe algunas de las preguntas que se pueden resolver con cierta facilidad en comparación con los métodos familiar a los antiguos griegos.

Incluso la definición de las secciones cónicas en el plano es bastante torpe, el uso de la directriz, el enfoque y la excentricidad. La forma analítica de una ecuación de segundo grado es más fácil de recordar y claramente superior en el cómputo real de los puntos de intersección, por ejemplo.

De Descartes Teorema es uno que es difícil de probar o tal vez incluso descubrir sin geometría analítica. Descartes mismo utilizado esto como un ejemplo de la potencia de su método, en su correspondencia con la Princesa Isabel de Bohemia:

Bos, Erik-Jan, la Princesa Isabel de Bohemia y de Descartes letras (1650-1665), Hist. De matemáticas. 37, Nº 3, 485-502 (2010). ZBL1200.01012.

Answer 3

Respuesta provocadora (pero no demasiado): verificar el Quinto Postulado es una trivialidad en el plano cartesiano.