¿Por qué utilizamos productos cruzados en física?

Question

Podemos definir a la cruz de los productos matemáticamente como si tenemos dos vectores, podemos encontrar otro vector con ciertas propiedades, pero ¿por qué lo usamos en la física, si tenemos en cuenta la hipótesis de una cantidad física, como la fuerza que es igual al producto cruzado de ciertos vectores?

Por ejemplo, la fuerza ejercida sobre una carga en movimiento en un campo magnético uniforme.

¿Por qué es así? ¿Por qué esa fuerza tiene que ser un producto cruz de dos vectores?

Es posible llegar a ellos cuando lo que hacemos es observar la naturaleza?

Answer 1

Esta es una gran pregunta. El punto y la cruz de los productos parecen muy misterioso cuando se introdujo por primera vez a un nuevo estudiante. Por ejemplo, ¿por qué el escalar (punto) producto tiene un coseno en ella y el vector (de la cruz) el producto tiene un seno, en lugar de viceversa? Y ¿por qué estas mismas dos formas no evidentes de la "multiplicación" de los vectores juntos surgir en tantos contextos diferentes?

La respuesta fundamental (que por desgracia no puede ser muy accesible si eres un estudiante nuevo) es que sólo hay dos algebraicamente independiente de los tensores que son invariantes bajo rotaciones arbitrarias en $n$ dimensiones (decimos que son "$\mathrm{SO}(n)$ invariantes"). Estos son la delta de Kronecker $\delta_{ij}$ y la de Levi-Civita símbolo $\epsilon_{ijk \cdots}$. Contratación de dos vectores con estos símbolos se obtiene el punto y la cruz de los productos, respectivamente (este último sólo funciona en tres dimensiones). Ya que las leyes de la física parecen ser isotrópico (es decir, rotación invariable), es lógico que cualquier físicamente método útil para la combinación de las cantidades físicas, como los vectores de la junta debe ser isotrópico así. El punto y la cruz de los productos para ser sólo dos posibles multilineal opciones.

(¿Por qué multilineal mapas son tan útiles en la física es una aún más profunda y más fundamental de la cuestión, pero que las respuestas a esta pregunta son satisfactorios probablemente es inherentemente una cuestión de opinión.)

Answer 2

Una cruz de producto está altamente relacionado con otro concepto, el exterior del producto (o de la cuña de producto). Una exterior el producto es un producto natural que se produce en el álgebra. El exterior del producto de dos vectores es un bivector, cuyas instrucciones son muy naturales (mientras que el par como un vector que es perpendicular a la fuerza y el brazo de palanca, en el exterior de los productos es simplemente un bivector definido por dos direcciones-la fuerza y la leve brazo).

Por desgracia, los productos exteriores son difíciles de enseñar el principio. Ellos toman una gran cantidad de matemáticas. Productos cruzados son mucho más fáciles de explicar. Y, como resulta que, en 3 dimensiones, de los productos cruzados y el exterior de los productos son isométricos. Se transforman de la misma manera. Si usted hace la matemáticas con productos cruzados, se obtiene la misma respuesta, como si lo hizo con los productos exteriores. Esto no funciona en todas las dimensiones (productos cruzados son una de las 3 dimensiones de la cosa, mientras que el exterior de productos se puede hacer en cualquier número de dimensiones), pero no funciona en 3, y un montón de física se realiza en tres dimensiones!

Answer 3

Me estoy centrando en la geometría de los productos cruzados

Productos cruzados se utilizan cuando estamos interesados en el momento del brazo de una cantidad. Que es la distancia mínima de un punto a una recta en el espacio.

1. La Distancia a la que un Rayo de Origen. Un rayo a lo largo de la unidad de vectores $\boldsymbol{e}$ pasa a través de un punto de $\boldsymbol{r}$ en el espacio. $$ d = \| \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{e} || $$ $d$ es el perpendular distancia a la ray (también conocido como el momento en el brazo de la línea).
2. El brazo de momento de Fuerza (Torque Vectorial). Una fuerza de $\boldsymbol{F}$ a lo largo de $\boldsymbol{e}$ hace que el siguiente par de torsión sobre el origen $$ \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = d\, \| \boldsymbol{F} \| $$
3. El brazo de momento de Rotación (el Vector de Velocidad). Una rotación $\boldsymbol{\omega}$ sobre el eje $\boldsymbol{e}$ hace que el cuerpo se mueva a su lugar de origen por $$ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega} = d\, \| \boldsymbol{\omega} ||$$
4. El momento en que el brazo de momento (momento Angular). Un clásico de la partícula con el ímpetu $\boldsymbol{p}$ a lo largo de $\boldsymbol{e}$ tiene momento angular respecto al origen $$ \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} = d\, \| \boldsymbol{p} \|$$

Answer 4

Es realmente mucho más simple que las otras respuestas hasta ahora lo han hecho. Utilizamos los productos cruzados y de puntos (y todas las demás matemáticas) porque nos permiten crear modelos matemáticos bastante simples (es decir, las leyes de la física) que representan con precisión lo que el universo realmente hace.

Answer 5

Productos cruzados se utilizan a menudo con pseudovectors (aka axial vectores). Menos con los vectores (aka polar vectores). La comprensión de la diferencia entre axial y polar vectores de ayuda aquí.

Axiales y polar de los vectores de lo que los matemáticos consideran un vector. Ambos son un conjunto de 3 coordenadas. Ellos son a menudo atraídos como flechas. Pueden ser añadidos juntos y multiplicados por números como flechas.

Los físicos requieren algo más a considerar una cantidad a ser un vector. Deben representar una magnitud física que se transforma en el camino correcto al cambiar la base.

Polar vectores representan cantidades, como la distancia, la velocidad, la aceleración y la fuerza. Estos pueden describir el movimiento de un punto de partículas con una magnitud y una dirección.

Axial vectores representan un conjunto diferente de las magnitudes, como la velocidad angular y el momento angular. Estos describir cosas como el movimiento de rotación en un plano. Son de una magnitud y orientación del plano. Esto es equivalente a la de movimiento alrededor de un eje. Ellos son a menudo representadas por una flecha, donde la flecha es paralela al eje y perpendicular al plano. Orientación del plano de incluir la idea de las agujas del reloj vs en sentido antihorario. Esto es representado por poner la flecha en uno u otro lado del avión, dictada por la regla de la mano derecha.

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Axial vectores se presentan a menudo como el producto de dos perpendicular polar vectores. $\vec\omega = (\vec r \times \vec v)/r^2$.

Para un objeto rígido fijado a un eje, cada punto sólo puede moverse con $v$ perpendicular a $r$. Pero una partícula libre se puede mover en cualquier dirección. Para este caso, el producto cruzado selecciona el componente de $v$ que es perpendicular a $r$, el componente que contribuye a la rotación alrededor del eje. El resultado es un vector perpendicular a $v$ e $r$ , de acuerdo a la regla de la mano derecha.

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El campo magnético es un vector axial. Vea por Qué es el Campo B un Vector axial? para obtener más. Esto significa que una corriente genera un $B$ campo a su alrededor, descrito por líneas de campo magnético. Para una línea recta actual, las líneas de campo son planas y circulares. Para obtener más complejo de corrientes, que son siempre las curvas cerradas. En cualquier punto de la línea de campo es el "eje" que es perpendicular al plano del campo magnético.

Fuerza del campo magnético se genera cuando una carga se mueve en el plano de $B$. Es decir, cuando una carga se mueve perpendicular a la "eje" de B. Esto es capturado por $\vec F = q\vec v \times \vec B$.