Hace poco intenté explicar el sitio de la fppf a un geómetra diferencial. Empecé con el sitio etale, donde tenía dos afirmaciones motivadoras:
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Si X es una variedad proyectiva suave sobre los complejos, la topología etale "recupera" la topología tradicional. Más precisamente, la categoría de las láminas sobre el sitio etale y la categoría de las láminas sobre el sitio complejo-analítico son equivalentes. (EDIT: ¡He desviado a mi amigo! Véase más abajo).
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Con sólo tres palabras citadas por miedo: La topología etale es (por "definición") la "topología" más gruesa que hace "verdadero" el teorema de la función inversa.
No sé cómo hacer una afirmación análoga a (1) o (2) para la topología fpqc (o fppf, o ...). Ni siquiera tengo una idea de la diferencia entre estas topologías. ¿Existe un análogo de (1) o (2) o cualquier otra cosa "puramente geométrica" para colgar mi sombrero?
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La primera afirmación es falsa: por ejemplo, los subobjetos del objeto terminal en el topos etale son los abiertos de Zariski, mientras que en el topos analítico son los abiertos analíticos... o de nuevo el topos etale es coherente y el topos analítico no lo es... o de nuevo no puede haber ninguna acción de Aut(C) sobre H^2(P^1;Z)=Z que induzca la acción habitual (ciclotómica) sobre H^2(P^1;Z/n)=Z/n(1).
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Creo que la principal observación es que incluso para estas topologías tan finas y "no intuitivas" se pueden demostrar teoremas de descenso, por ejemplo, para gavillas cuasi-coherentes y morfismos de esquemas: $Hom(?,X)$ es una gavilla. Si se mira en la demostración de estos teoremas se ve precisamente dónde se necesitan las propiedades "fp" y "qc" o "pf".