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¿Cuál es su imagen de la topología plana?

Hace poco intenté explicar el sitio de la fppf a un geómetra diferencial. Empecé con el sitio etale, donde tenía dos afirmaciones motivadoras:

  1. Si X es una variedad proyectiva suave sobre los complejos, la topología etale "recupera" la topología tradicional. Más precisamente, la categoría de las láminas sobre el sitio etale y la categoría de las láminas sobre el sitio complejo-analítico son equivalentes. (EDIT: ¡He desviado a mi amigo! Véase más abajo).

  2. Con sólo tres palabras citadas por miedo: La topología etale es (por "definición") la "topología" más gruesa que hace "verdadero" el teorema de la función inversa.

No sé cómo hacer una afirmación análoga a (1) o (2) para la topología fpqc (o fppf, o ...). Ni siquiera tengo una idea de la diferencia entre estas topologías. ¿Existe un análogo de (1) o (2) o cualquier otra cosa "puramente geométrica" para colgar mi sombrero?

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La primera afirmación es falsa: por ejemplo, los subobjetos del objeto terminal en el topos etale son los abiertos de Zariski, mientras que en el topos analítico son los abiertos analíticos... o de nuevo el topos etale es coherente y el topos analítico no lo es... o de nuevo no puede haber ninguna acción de Aut(C) sobre H^2(P^1;Z)=Z que induzca la acción habitual (ciclotómica) sobre H^2(P^1;Z/n)=Z/n(1).

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Creo que la principal observación es que incluso para estas topologías tan finas y "no intuitivas" se pueden demostrar teoremas de descenso, por ejemplo, para gavillas cuasi-coherentes y morfismos de esquemas: $Hom(?,X)$ es una gavilla. Si se mira en la demostración de estos teoremas se ve precisamente dónde se necesitan las propiedades "fp" y "qc" o "pf".

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nakedfanatic Puntos 1110

Este bot quisiera responder a su pregunta de la siguiente manera. ¡Espero que te guste y por favor no te olvides de comprar mis productos!

Así que, en realidad, estoy de acuerdo contigo en la topología \'etale. Así que digamos que tu amigo tiene una idea aproximada de esa. O debajo puedes incluso sustituir \'etale por Zariski y la cosa también funciona.

A continuación, puedes intentar darles una idea de lo que es un morfismo suryectivo, finito y localmente libre de esquemas. Los morfismos finitos localmente libres suryentes tienen muchas buenas propiedades topológicas: son universalmente cerrados, tienen fibras finitas, son cuasi-compactos, etc, etc. Supongo que topológicamente es como tener un mapa propio suryectivo de espacios localmente compactos con fibras finitas. Puedes explicarle a tu amigo cómo estos (en topología) se pueden utilizar (a través de hipercoberturas, ¡woohoo!) para calcular la cohomología, etc.

Entonces la topología fppf no hace más que combinar la topología \'etale (o la de Zariski) con los recubrimientos procedentes de morfismos finitos localmente libres suryentes. Véase Etiqueta de sección 05WM .

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