¿Puedes elevar un número a un exponente irracional?

Question

La forma en que me enseñaron en el álgebra de octavo grado, un número elevado a un exponente fraccionario, es decir, $a^\frac x y$ es equivalente a la raíz de grado denominador del número elevado al numerador, es decir, $\sqrt[y]{a^x}$. Entonces, ¿qué sucede cuando elevas un número a un número irracional? Obviamente no es tan simple descomponerlo como arriba. ¿Tiene un significado bien formado un exponente irracional?

El único ejemplo que me viene a la mente es la identidad de Euler, pero parece ser un caso bastante excepcional. ¿Qué pasa en general?

Answer 1

¿Qué significa cuando escribimos $a^b$, digamos para $a>0$? La pregunta es muy buena. La respuesta, desafortunadamente, es bastante complicada y los detalles completos son bastante extensos.

Tenemos un entendimiento claro de lo que queremos decir con $a^2$, o $a^5$. Y desde bastante temprano, aprendemos a definir $a^n$, donde $n$ es negativo, como $\frac{1}{a^{-n}}.

Desarrollamos un entendimiento de lo que queremos decir con algo como $a^{3/4}”. Porque (se nos lleva a creer) hay un número positivo único $s$ tal que $s^4=a$, y luego podemos definir $a^{3/4}$ como $s^3. Esta idea se puede usar para definir $a^{p/q}$, donde $p$ y $q$ son enteros.

Después de un tiempo, podemos demostrar, más o menos rigurosamente, que las leyes de los exponentes que funcionaron para potencias enteras también funcionan para expresiones de la forma $x^{p/q}$, donde $p$ y $q$ son enteros.

Sin embargo, ¿qué queremos decir, por ejemplo, con $3^{\sqrt{2}}$? ¡Definitivamente no es $3$ multiplicado por sí mismo $\sqrt{2}$ veces!

Hay varias formas de resolver la pregunta. Una forma es tener en cuenta que $\sqrt{2}=1.41421356\dots$ y considerar la secuencia $3^{1.4}$, $3^{1.41}$, $3^{1.414}$, $3^{1.4142}$, y así sucesivamente. Todos estos exponentes tienen sentido, porque los exponentes $1.4$, $1.41$, $1.414$, y así sucesivamente, se pueden expresar como fracciones. Pero, intuitivamente, estos números se acercan más y más a algo, y definimos $3^{\sqrt{2}}$ como ese algo. Podemos hacer una verificación informal parcial de la parte "acercándose cada vez más" en este caso, utilizando una calculadora.

Más formalmente, sea $b$ un número real, y sea $b_1, b_2, b_3, \dots$ una secuencia infinita de números racionales tal que la secuencia $(b_n)$ tiene límite $b$. Se puede mostrar que la secuencia $(a^{b_n})$ tiene un límite, que es independiente de la secuencia particular $(b_n)$ que hayamos elegido, siempre y cuando la secuencia tenga a $b$ como límite.

Luego podemos definir $a^b$ como el límite de la secuencia $(a^{b_n})$. Con bastante esfuerzo, luego podemos demostrar que las leyes familiares de la exponenciación se cumplen.

El enfoque anterior, aunque intuitivamente muy natural, es engorroso. Entonces, en la práctica, generalmente tomamos otro enfoque.

La forma estándar es primero definir la función $\ln x$. Luego definimos la función exponencial $\exp(x)$, también conocida como $e^x$, como la función inversa de $\ln x. O bien, dependiendo del gusto, primero definimos la función $\exp(x)$, y luego su inversa $\ln x. Hay una variedad justa de definiciones (demostrablemente equivalentes).

Por ejemplo, podríamos definir $\ln x$ como $$\ln x=\int_1^x \frac{1}{t}dt.$$ No es terriblemente difícil mostrar que $\ln$ como se define arriba satisface las "leyes básicas usuales de los logaritmos", y que es una función creciente, por lo que tiene una inversa, a la que llamamos $\exp$.

Finalmente, después de este trabajo previo, definimos $a^b$ (para $a>0$) por $$a^b=\exp(b\ln a).$$ Luego podemos verificar fácilmente que, en los casos en los que ya "sabemos" lo que debería ser $a^b$, es decir, para $b$ racional, la definición anterior coincide con nuestra intuición, y que las "leyes usuales de los exponentes" se cumplen para esta noción más general de potencia.

Advertencia: En toda la publicación, se asume que $a$ es un número real positivo, y que todos los exponentes son números reales. Los exponenciales complejos son mucho más -- complejos.

Answer 2

Sí puedes, cuando el número al que estás elevando a una potencia es positivo. Hay (al menos) dos formas de definir $a^x$, donde $a > 0$ y $x$ es un número real que puede no ser racional:

1. Puedes elegir una secuencia de números racionales $x_n$ que convergen a $x$ (es decir, $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = x$) y definir $$a^x = \lim_{n\to\infty} a^{x_n}.$$

2. Puedes usar la función exponencial $e^x$ (definida de muchas formas, por ejemplo, como $e^x = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{x}n)^n$ o con una serie de potencias), y su inversa, la función logarítmica que satisface $e^{\ln t} = t$ para todos los valores positivos de $t$, y dado que $a = e^{\ln a}$, definir $$a^x = e^{x \ln a}.$$

Ambas definiciones dan la misma respuesta. Consulta también el artículo de Wikipedia sobre exponentiation, sección sobre exponentes reales. Cuando $a$ es negativo, es difícil hacer esto mientras se permanece en los números reales, pero consulta la sección sobre potencias de números complejos.

Answer 3

Para un número real positivo $a$ y cualquier número real $b$, se puede hacer la definición:

$$a^b \equiv \exp(b \log a)$$

habiendo definido primero la función exponencial como una serie de potencias infinitas (y mostrando que converge para cada argumento real) y el logaritmo como la inversa de la función exponencial (después de mostrar que la función exponencial es monótona y que su imagen es la recta real positiva).

Más formalmente, se puede definir la función $f:\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ que cumple $f(a,b)=a^b$ para $a,b$ racionales y completa los espacios de manera continua para $a,b$ irracionales.

Answer 4

Las respuestas anteriores son correctas siempre y cuando solo te preocupes por los números reales. Sin embargo, al igual que $x^{a/b}$ tiene $b$ soluciones en el plano complejo, $x$ elevado a la potencia de un irracional tendrá un número infinito de soluciones.

Answer 5

Absolutamente.

Observamos que los números irracionales pueden ser aproximados arbitrariamente por números racionales. Para un número real positivo $r$ y un número irracional $j$, enteros $p_1$, $q_1$, $p_2$ y $q_2$, la potencia $j$ puede ser ordenada y bien definida, eligiendo los valores de $p_i$ y $q_i$ de manera que sus cocientes estén arbitrariamente cerca de $j$.

$$r^{\frac{p_1}{q_1}}

Al ir más allá de los reales positivos a números complejos arbitrarios, podemos confiar en la fórmula de Euler. Si $e$ es la base del logaritmo natural e $i^2=-1$, entonces

$$e^{i}+1=0$$

Así, para todos los enteros $z$ y los números reales $a$ y $b$

$$(a+ib)^j=(e^{\ln(a+ib)+i2z})^j=(e^{\ln(\sqrt{a^2+b^2})+iarg(a,b)+i2z})^j=(e^{j\ln(\sqrt{a^2+b^2})+ij(arg(a,b)+2z})=(\sqrt{a^2+b^2})^j\cos(j*arg(a,b)+2zj)+i(\sqrt{a^2+b^2})^j\sin(j*arg(a,b)+2zj)$$

(Explico la función arg en un comentario.)

Observa que $\sqrt{a^2+b^2}$ siempre es un número real positivo. También observa que 2zj nunca es un múltiplo entero de 2 excepto para $z=0$, debido a que j es irracional. Por lo tanto, los cosenos y senos no se repiten en ciclos, y cada número complejo distinto de cero tiene una infinidad numerable de potencias $j$ (¡y raíces $j$!)