Me pregunto si hay espacios no homeomórficos$X$ y$Y$ de modo que$X^2$ sea homeomorfo a$Y^2$.
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BZ.
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Aquí es un extracto de MR0562824 (81d:54005), Trnková, V. Homeomorphisms de productos de espacios. (Ruso) Uspekhi Mat. Nauk 34 (1979), no. 6(210), 124-138:
S. Ulam planteó la siguiente pregunta en 1933: hay un espacio de $X$ a que nonhomeomorphic raíces cuadradas, es decir, $X\cong A\times A\cong B\times B$ para algunos nonhomeomorphic $A,B$? Este problema fue resuelto por R. H. Fox en 1947: se construyeron dos nonhomeomorphic cuatro dimensiones de los colectores $A$ e $B$ tal que $A\times A\cong B\times B$.
upd: La referencia es de la Fox, R. H. En un problema de S. Ulam relativas a los productos Cartesianos. Fondo. De matemáticas. 34, (1947). 278-287.
La respuesta a Ulam la cuestión de las 3-variedades es positivo, ver Glimm, James Dos productos Cartesianos que se Euclidiana espacios. Bull. Soc. De matemáticas. Francia 88 1960 131-135.
La respuesta para 2-poliedros es negativo, véase W. Rosicki, "En un problema de S. Ulam sobre Cartesiano cuadrados de 2-dimensiones de los poliedros.", Fondo. De matemáticas. 127 (1987), no. 2, 101-125. Este documento también se da el siguiente ejemplo elemental:
Tome $A$ a ser distinto de la unión de el cubo de Hilbert y $\mathbb{N}$ e $B$ a ser distinto de la unión de dos copias de el cubo de HIlbert y $\mathbb{N}$. A continuación, tanto en $A^2$ e $B^2$ son homeomórficos a la inconexión de la unión de una contables de la familia de Hilbert cubos y $\mathbb{N}$.
Finalmente, en este ejemplo se puede sustituir el cubo de Hilbert por cualquier espacio homeomórficos a su plaza y no homeomórficos dos copias de sí mismo, por ejemplo, por $\left\{1/n\mid n\in\mathbb{Z}_{>0} \right\}\cup\{0\}$.
Doug
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Sí. Deje $M$ ser la Whitehead Colector, que tiene la propiedad de que $M \not\cong \mathbb{R}^3$, pero $M\times\mathbb{R}^3 \cong \mathbb{R}^6$. (De hecho,$M\times\mathbb{R} \cong \mathbb{R}^4$.) Vamos $$ X \;=\; \mathbb{R}^3 \:\uplus\ M \:\uplus\ M \:\uplus\ M \:\uplus\ M \:\uplus\: \cdots $$ y $$ Y \;=\; \mathbb{R}^3 \:\uplus\: \mathbb{R}^3 \:\uplus\ M \:\uplus\ M \:\uplus\ M \:\uplus\: \cdots\text{,} $$ donde $\uplus$ denota la inconexión de la unión de espacios topológicos. A continuación, $X$ e $Y$ no homeomórficos, pero $$ X^2 \;\cong\; Y^2 \;\cong\; (\mathbb{R}^6 \:\uplus\: \mathbb{R}^6 \:\uplus\: \cdots) \:\uplus\: (M^2 \:\uplus\: M^2 \:\uplus\: \cdots). $$
