¿Puede cualquier número de cuadrados sumar un cuadrado?

Question

Supongamos que

$$a^2 = \sum_{i=1}^k b_i^2$$

donde $a, b_i \in \mathbb{Z}$ , $a>0, b_i > 0$ (y $b_i$ no son necesariamente distintos).

¿Puede cualquier número entero positivo ser el valor de $k$ ?

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La razón por la que me interesa esto: en un embaldosado irreptil donde la pieza más pequeña tiene área $A$ tenemos $a^2A = \sum_{i=1}^k b_i^2A$ donde tenemos $k$ piezas escaladas por $b_i$ para alicatar la figura grande, que se escala por $a$ . Me pregunto qué limitaciones hay en cuanto al número de piezas.

He aquí un ejemplo de mosaico que realiza $4^2 = 3^2 + 7 \cdot 1^2$ Así que $k = 8$ .

Answer 1

"¿Hay algún $k$ ¿es posible?" Un camino fácil hacia el "Sí": Sabes por el teorema de Pitágoras que dos cuadrados pueden sumar un cuadrado perfecto. $$c^2=a^2+b^2$$

$c^2$ debe ser impar o par. Si es impar, es la diferencia entre dos casillas consecutivas. $$c^2=2n-1=n^2-(n-1)^2$$ Si incluso, $c^2$ es divisible por $4$ y también es la diferencia entre dos cuadrados. $$c^2=4n=(n+1)^2-(n-1)^2$$ Así que en cualquier caso, $c^2$ es igual a la diferencia entre dos cuadrados. $$c^2=r^2-s^2 \\ r^2=c^2+s^2=a^2+b^2+s^2$$ Toma, $r^2$ es la suma de tres cuadrados.

Esto se puede repetir indefinidamente, aumentando en uno el número de cuadrados de la suma que suman un cuadrado. No hay límite al número de cuadrados que se pueden acumular en la suma.

Answer 2

Sí, $k$ puede ser arbitraria. Definir una secuencia $$a_1:=3,\,a_{k+1}:=\frac12\left(a_k^2+1\right)$$ de enteros positivos Impares (ya que $\frac12((2n+1)^2+1)=2(n^2+n)+1$ ), por lo que $$a_{k+1}^2-a_k^2=\frac14\left[(a_k^2+1)^2-4a_k^2\right]=\left[\frac12(a_k^2-1)\right]^2$$ es un cuadrado perfecto. Ahora define $$b_1:=3,\,b_{k+1}:=\frac12(a_k^2-1)$$ así que $a_k^2=\sum_{i=1}^kb_i^2$ para todos los enteros positivos $k$ . La secuencia $a_n$ se denomina Espiral pitagórica o OEIS A053630.

Answer 3

Esta afirmación es mucho más general. OP es el caso especial $S$ = cuadrados enteros, que es cerrado bajo multiplicación $\,a^2 b^2 = (ab)^2,\,$ y tiene un elemento que es una suma de $\,2\,$ otros, por ejemplo $\,5^2 = 4^2+3^2 $ .

Teorema $ $ Si $\,S\,$ es un conjunto de números enteros $\rm\color{#0a0}{closed}$ bajo multiplicación entonces
$\qquad\qquad \begin{align}\phantom{|^{|^|}}\forall\,n\ge 2\!:\text{ there is a }\,t_n\in S\,&\ \text{that is a sum of $\,n\,$ elements of $\,S$ }\\[.1em] \iff\! \text{ there is a }\,t_2\in S\,&\ \text{that is a sum of $\,2\,$ elements of $\,S\!$}\\ \end{align}$

Prueba $\ \ (\Rightarrow)\ $ Despejado. $\ (\Leftarrow)\ $ Iniciamos el $n$ . El caso base $\,n = 2\,$ es cierta por hipótesis, es decir, se nos da que $\,\color{#c00}{a = b + c}\,$ para algunos $\,a,b,c\in S.\,$ Si la afirmación es cierta para $\,n\,$ elementos entonces

$$\begin{align} s_0 &\,=\, s_1\ \ +\ s_2\ + \cdots +s_n,\ \ \ \ \,{\rm all}\ \ s_i\,\in\, S\\ \Rightarrow\ s_0a &\,=\, s_1 a + s_2 a + \cdots +s_n\color{#c00} a,\ \ \color{#0a0}{\rm all}\ \ s_ia\in S \\[.1em] &\,=\, s_1 a + s_2 a + \cdots + s_n \color{#c00}b + s_n \color{#c00}c \end{align}\qquad\qquad$$

así que $\,s_0 a\in S\,$ es una suma de $\,n\!+\!1\,$ elementos de $S$ completando la inducción.

Observación $ $ Un comentario pide más ejemplos. Veamos algunos ejemplos "mínimos". $S$ contiene $\,a,b,c\,$ wth $\,a = b + c\:$ por lo que - siendo cerrado bajo multiplicación - $\,S\,$ contiene todos los productos $\,a^j b^j c^k\ne 1$ . Pero estos productos ya están cerrados bajo multiplicación por lo que podemos tomar $S$ el conjunto de todos los productos de este tipo. Examinemos cómo funciona la prueba inductiva anterior en este conjunto.

$$\begin{align} \color{#c00}a &= b + c\\ \smash{\overset{\times\ a}\Longrightarrow}\qquad\qquad\, a^2 = ab+\color{#c00}ac\, &= b(a+c)+c^2\ \ \ {\rm by\ substituting}\,\ \color{#c00}a = b+c\\ \smash{\overset{\times\ a}\Longrightarrow}\ \ a^3 = b(a^2+ac)+ \color{#c00}ac^2 &= b(a^2+ac+c^2)+c^3 \\[.4em] {a^{n}} &\ \smash{\overset{\vdots_{\phantom{|^|}\!\!}}= \color{#0a0}b (a^{n-1} + \cdots + c^{n-1}) + c^{n}\ \ \text{ [sum of $\,n\!+\!1\,$ terms]}}\\[.2em] {\rm by}\ \ \ a^{n}-c^{n} &= (\color{#0a0}{a\!-\!c}) (a^{n-1} + \cdots + c^{n-1})\ \ \ {\rm by}\ \ \color{#0a0}{b = a\!-\!c} \end{align}\quad\ \ \ $$

Así que la construcción inductiva de la prueba de un elemento que es una suma de $n+1$ términos se reduce aquí a escribir $\,a^n\,$ de esa forma utilizando la factorización de $\,a^n-c^n\,$ a través de la Teorema del factor.

Por especialización $\,a,b,c\,$ se obtienen muchos ejemplos, por ejemplo, utilizando $\,5^2,4^2,3^2$ como en el OP entonces $S$ es un conjunto de cuadrados compuesto únicamente por esos factores, y el $\,n\!+\!1\,$ suma de elementos construida es

$$ 25^n =\, 9^n + 16(25^{n-1}+ \cdots + 9^{n-1})$$

Answer 4

He aquí una solución geométrica (para $k > 5$ ).

A continuación se presentan las soluciones para 6, 7 y 8 casillas.

Podemos sustituir un cuadrado de cada uno de ellos por cuatro cuadrados del mismo tamaño para encontrar un embaldosado con 3 cuadrados más, de modo que podemos obtener 9, 10 y 11 cuadrados. Repitiendo esto podemos obtener cualquier número de cuadrados mayor que 5.

A continuación muestro una iteración:

Answer 5

Sí.

Para $k = 2$ : $3^2 + 4^2 = 5^2$

Para $k > 2$ :
Comience con una solución para $k-1$
Multiplica ambos lados por $5^2$
Sustituir uno $(5a)^2$ a la izquierda con $(3a)^2$ + $(4a)^2$ .

$3^2 + 4^2 = 5^2$
$15^2 + 20^2 = 25^2$
$9^2 + 12^2 + 20^2 = 25^2$ (k = 3)

$45^2 + 60^2 + 100^2 = 125^2$
$27^2 + 36^2 + 60^2 + 100^2 = 125^2$ (k = 4)

Repetir hasta que k sea el deseado.