¿Sobre qué campos son diagonalizables las matrices simétricas?

Question

La pregunta está motivada por esta matriz simétrica real que tiene valores propios reales - prueba elemental :

¿Hay otros campos$F$ que$\mathbb{R}$ (tal vez algunos campos valiosos o campos cerrados reales) con la propiedad de que cada matriz simétrica en$M_n(F)$ es diagonalizable?

Answer 1

Esta es una contables de la familia de primer orden de las declaraciones, por lo que es válido para cada real-campo cerrado, ya que posee más de $\mathbb R$.

A partir de una matriz cuadrada, de inmediato se derivan de que un campo debe satisfacer la propiedad de que la suma de dos cuadrados perfectos es un cuadrado perfecto. De hecho, la matriz:

$ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ b & -a \end{array}\right)$

ha polinomio característico $x^2-a^2-b^2$, por lo que es diagonalizable mientras $a^2+b^2$ es un cuadrado perfecto.

Por otra parte, $-1$ no es un cuadrado perfecto, o más de la matriz:

$ \left(\begin{array}{cc} i & 1 \\ 1 & -i \end{array}\right)$

sería diagonalizable, por lo tanto cero, una contradicción evidente.

Así que el semigroup generados por los cuadrados perfectos se compone únicamente de los cuadrados perfectos, que no son todos los elementos de la esfera, por lo que el campo puede ser ordenado.

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Sin embargo, el campo no necesita ser real cerrada. En el campo $\mathbb R((x))$. Tome una matriz sobre dicho campo. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar es una matriz de más de $\mathbb R[[x]]$. Mirando de mod $x$, es una matriz simétrica sobre $\mathbb R$, por lo que podemos diagonalize mediante una matriz ortogonal. Si sus autovalores mod $x$ son todos distintos, hemos terminado, ya que podemos encontrar las raíces de su polinomio característico en $\mathbb R[[x]]$ por Hensel del lexema. Si son todos el mismo, decir $\lambda$ podemos reducir: restar $\lambda I$, divida por $x$ y diagonalize de nuevo. El único caso es que si algunos son los mismos y algunos son distintos. Si podemos manejar ese caso, entonces podemos diagonalize cualquier matriz.

Lema: Vamos a $M$ ser una matriz simétrica sobre$\mathbb R[[x]]$, que algunos autovalores son distintos mod $x$. Existe una matriz ortogonal $A$ tal que $AMA^{-1}$ es de bloque diagonal, con los bloques simétricos.

Prueba: Consideremos el esquema de tales matrices ortogonales. Cada componente de este esquema corresponde a una partición de los autovalores en bloques. Elija uno. Ya podemos diagonalize la matriz ortogonal de la matriz de mod $x$, sin duda hay un mod $x$ punto sobre este componente. Queremos levantar esta a un punto en todo el anillo. Podemos hacer esto si el esquema es suave sobre la $\mathbb R[[x]]$.

Suponiendo que los bloques tienen distintos valores propios, la variedad de maneras de hacer esto, a través de una algebraicamente cerrado campo, como la $O(n_1) \times O(n_2) \times.. \times O(n_k)$ donde $n_1,\dots,n_k$ son los tamaños de los bloques. Esto es porque la única manera de mantener una matriz diagonal de bloques de la diagonal se golpeó con uno de esos. Así como los bloques se eligen de modo que los valores propios en diferentes bloques son distintos y se mantienen así en la reducción de mod $x$, la variedad es suave sobre la $\mathbb R((x))$ y lisa en $\mathbb R$, y tiene la misma dimensión a través de ambos, por lo que es suave sobre la $\mathbb R[[x]]$. (Este bit podría no ser del todo correcta). Por lo tanto hay un ascensor y la matriz se puede poner en este formulario.

A continuación, hacemos una inducción en la dimensión. La única manera sería incapaz de poner una matriz en una forma en que dos de sus autovalores son distintos mod $x$ es si sus autovalores son todos el mismo, en cuyo caso,desde la $\mathbb R((x))$ está contenida en un verdadero campo cerrado, es un escalar matriz y hemos terminado.

Answer 2

Esta es una generalización de la idea de la Voluntad Sawin. El Stufe de este campo debe ser infinito. De hecho, si $-1$ es un sumas de cuadrados, es decir, $-1=a_1^2+\cdots+a_{n-1}^2$, luego $$A:= \begin{pmatrix} 1 & a_1&\cdots & a_{n-1} \\ a_1 & a_1^2 &\cdots & a_1a_{n-1} \\ \vdots & \vdots&\ddots &\vdots \\ a_{n-1} & a_{n-1}a_1&\cdots & a_{n-1}^2\\ \end{pmatrix} $$ would be a symmetric matrix with $A^2=0$ y no es diagonalizable. Así que la base de campo debe ser formalmente reales de campo.

Una caracterización completa en el siguiente artículo (un condición necesaria y suficiente es que este tipo de campo debe ser una intersección de bienes de campos cerrados):

MR1237224 D. Mornhinweg, D. B. Shapiro y K. G. Valente, El Eje Principal Teorema Sobre Arbitraria Campos (La American Mathematical Monthly, Vol. 100, Nº 8 (Oct., 1993), pp 749-754).