¿Podemos recuperar un álgebra de von Neumann de su predual?

Question

Por definición, un álgebra de von Neumann es una C*‑algebra a que admite un predual, es decir, un espacio de Banach Z tal que Z* es isomorfo a la base del espacio de Banach de A. (Necesitamos que isomorphisms en la categoría de Banach espacios de preservar la norma.)

Por otra parte, una de morfismos de álgebras de von Neumann es una de morfismos f: a→B subyacente de la C*‑álgebras de que admite un predual, es decir, una de morfismos de los espacios de Banach g: Y→Z tal que g*: Z*→Y* es isomorfo a f en la categoría de morfismos de los espacios de Banach.

Un teorema por Sakai establece que todos los preduals de Una inducir la misma topología débil en Una (la ultraweak topología). En particular, cada predual es canónicamente isomorfo a la doble de Una en la ultraweak topología y el predual es único hasta un único isomorfismo.

Lo mismo es cierto para los morfismos: El único predual de un morfismos f: a→B de álgebras de von Neumann es su doble f* B*→* en el ultraweak topología. Una de morfismos subyacente de la C*‑álgebras tiene un predual si y sólo si es continua en el ultraweak topología.

Así, el predual puede ser visto como un functor L₁ que envía un álgebra de von Neumann a su doble en el ultraweak topología y de la misma manera para morfismos. El functor L₁ es fiel, que se reduce al hecho de que un elemento de una de von Neumann álgebra que se desvanece en cada elemento de la predual debe ser cero.

Siempre que tenemos un fiel functor F: C→D es natural intentar al factor como una composición de dos functors G: C→E y H: E→D, donde los objetos de E son los objetos de D equipado con algunas estructuras adicionales, los morfismos de E son los morfismos de D que preservar estas estructuras, H es el functor que se olvida de estas estructuras, y G es una equivalencia de categorías. En nuestro caso estamos buscando estructuras adicionales en el predual tal que morfismos de preduals que preservar estas estructuras son precisamente morfismos que vienen de morfismos de álgebras de von Neumann. Desde el functor G es una equivalencia de categorías, esto equivale a una definición alternativa de álgebras de von Neumann en términos de preduals.

Dos de estas estructuras en el predual son fáciles de identificar. El primero está dado por dualizing la unidad de mapa 1: k→A. Aquí k es el campo de escalares respecto a la cual todas von Neumann álgebras de Banach y espacios definidos. El doble mapa es el famoso Haagerup traza tr: L₁(A)→k.

La segunda estructura está dada por dualizing el conjugado-lineal de la involución *: A→A. El doble es el sistema modular de la conjugación *: L₁(A)→L₁(Un), lo que es importante en la Tomita-Takesaki teoría. Por último, el seguimiento de los desplazamientos con la conjugación.

Todos los morfismos de preduals que vienen de morfismos de álgebras de von Neumann preservar estas dos estructuras. Dualizing todos los morfismos de preduals que preservar estas dos estructuras nos da ultraweakly continua de los mapas de la original álgebras de von Neumann que preservar la unidad y la involución.

Sin embargo, no hay garantía de que estos mapas preservar la multiplicación, al menos yo no tengo conocimiento de ninguna prueba o refutación de esta declaración. Podemos ingenuamente tratar de dualize la multiplicación mapa a⊗A→a Una y conseguir un mapa de la forma L₁(A)→L₁(Un)⊗L₁(Un). Sin embargo, no está claro qué tipo de tensor de productos que debe utilizar (véase una pregunta sobre este asunto) y si dualizing Un⊗Una realidad, nos da L₁(Un)⊗L₁(Un).

Pregunta 1: ¿hay un ejemplo de un mapa de preduals tal que su doble mapa conserva la unidad y de la involución, pero no preservar la multiplicación? Si sí, ¿qué tipo de estructura adicional mapas entre preduals debe preservar para garantizar que se en realidad provienen de morfismos de álgebras de von Neumann? En particular, podemos dualize el producto en un álgebra de von Neumann el uso de algún tipo de producto tensor?

Pregunta 2: ¿Qué espacios de Banach (posiblemente equipado con una traza, una involución, y tal vez algunas otras estructuras) surgen como preduals de álgebras de von Neumann?

Answer 1

En particular, podemos dualize el producto en un álgebra de von Neumann el uso de algún tipo de producto tensor?

La respuesta a esto es explorado en una serie de documentos. AFAIK, que se consideró por primera vez Quigg en "Aproximadamente el periódico funcionales en las C*-álgebras y álgebras de von Neumann.", http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=806641 Aquí se considera el espacio de Banach proyectiva producto tensor, pero esto sólo funciona para subhomogeneous álgebras.

El caso general fue contestado por Effros y Ruan en "Operador de espacio tensor de productos y de Hopf de convolución álgebras", http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2015023 Si $M$ es un álgebra de von Neumann con predual $M_*$, entonces no es un "producto tensor", llamado el Extendido de Haagerup Producto Tensor $M_* \otimes_{eh} M_*$, y un (completa) de contracción $\delta:M_* \rightarrow M_* \otimes_{eh} M_*$ que es el predual (en algunos ligeramente en sentido técnico) de la multiplicación de mapa de $M\otimes M\rightarrow M$. (Mi susto comillas son porque el algebraicas producto tensor $M_*\otimes M_*$ no (norma) denso en $M_* \otimes_{eh} M_*$).

Answer 2

Deje $ M $ e $ N $ ser álgebras de von Neumann.

1. Se sabe que el preduals $ M_{*} $ e $ N_{*} $ son isométricos como espacios de Banach si y sólo si $ M $ e $ N $ son Jordania $ * $-isomorfos. Por favor, ver a David Sherman papel no conmutativa $ L^{p} $ estructura codifica exactamente Jordania estructura.

2. Si $ M $ es de dimensiones infinitas, hyperfinite y semifinite, entonces su predual $ M_{*} $ es isomorfo a uno de una lista de trece espacios de Banach. Por favor, consulte la Haagerup-Rosenthal-Sukochev papel de Banach incorporación de Propiedades de No-Conmutativa $ L^{p} $-Espacios para este resultado y sus complementos.

Answer 3

¿Por qué no se puede considerar$\ell_\infty$ y$M_2(\ell_\infty)$? Son isométricamente isomórficos como los espacios de Banach, el primero es conmutativo, mientras que el último no. Parece que el teorema citado por BigBill no es necesariamente cierto, ya que estos dos tipos no son isomorfos de Jordon.