¿Por qué a los primos no les gusta dividir la suma de todos los primos anteriores?

Question

Estaba investigando los primos con la propiedad de que la suma del primer $n$ primos es divisible por $p_n$ . Resulta que estos primos son extremadamente raros. Para los primos menores de $10^9$ He encontrado que sólo hay cinco primos con esta propiedad:

$$ p_1 = 2 $$

$$ p_3 = 5 $$

$$ p_{20} = 71 $$

$$ p_{31464} = 369,119 $$

$$ p_{22096548} = 415,074,643 $$

Esto plantea preguntas curiosas y equivalentes:

Q1. ¿Existen infinitos primos que dividan la suma de todos los primos anteriores?

Q2 . Incluso si suponemos que hay infinitos primos de este tipo, ¿por qué son tan raros? En otras palabras, ¿por qué a los primos no les gusta dividir la suma de todos los primos anteriores? ¿Existe algún argumento heurístico que demuestre que tales primos serán, en efecto, extremadamente raros?

Answer 1

Aquí hay un argumento heurístico de que no hay nada que explicar:

La probabilidad de que $p$ divide la suma de los primos anteriores es $1/p$ . Así que el número esperado de primos menores que $10^9$ con esta propiedad es $\sum_{p \leq 10^9} \frac{1}{p}$ . Utilizando Segundo teorema de Mertens , $$\sum_{p \leq 10^9} \frac{1}{p} \approx \log \log 10^9 + M \approx 3.3$$

Aquí $\log$ es el logaritmo natural y $M \approx 0.26149$ es La constante de Mertens .

Este es un ejemplo del lema " $\log \log x$ va al infinito pero nunca se ha observado que lo haga". Es bastante común que la gente mire a los primos $p$ que dividen alguna cantidad $a_p$ y concluir que son sorprendentemente raros cuando, en realidad, simplemente están creciendo como $\log \log N$ por la razón anterior.

Answer 2

La pregunta Q1 me parece un problema extremadamente difícil, pero también creo que la respuesta es afirmativa porque el argumento heurístico expuesto por David Speyer.

He estudiado con FLorian Luca [1] un problema relacionado que podría ayudar a responder a la pregunta Q2:

Dejemos que $A$ el conjunto de números enteros $n$ tal que la suma de los n primeros primos es divisible por $n$ (en lugar de $p_n$ ). En otras palabras, $A$ es el conjunto de $n$ tal que la media aritmética de la primera $n$ primos es un número entero:

$A=\{ n: \frac{p_1+\cdots +p_n}n \in \mathbf Z \}=\{ 1, 23, 53, 853, 11869, 117267, 339615, 3600489,..\} $

Estos números no son tan raros porque en este caso la heurística da $ A(x)\asymp \sum_{n\le x}\frac 1n\sim \log x$ .

No pudimos demostrar que $A$ tiene infinitos elementos pero demostramos que son raros:

$$A(x)\ll x e^{-C(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}}.$$ Posteriormente, Matomaki [2] demostró la estimación más fuerte, $A(x)\ll x^{\frac{19}{24}+\epsilon}$ .

1] Cilleruelo, Javier; Luca, Florian, Sobre la suma de los primeros n primos. Q. J. Math. 59 (2008), no. 4. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/articulos.html

2] Matomäki, Kaisa, Una nota sobre la suma de los primeros n primos. Q. J. Math. 61 (2010), no. 1,