¿Qué es un anillo conmutativo simplicial desde el punto de vista de la teoría de la homotopía?

Question

Deje $k$ ser un campo. Hay dos naturales de las categorías a considerar:

• La categoría de simplicial conmutativa $k$-álgebras.
• La categoría de conectivo $E_\infty$ $k$-álgebras (es decir, los complejos de la cadena de $k$-espacios vectoriales en positivo dimensiones con una coherencia asociativa y conmutativa de la multiplicación de la ley).

Estas categorías no son los mismos si $k$ no tiene de característica cero. Simplicial conmutativa $k$-álgebras son bastante especiales, y (por ejemplo) no todos los conmutativa de la dga sobre $k$ (lo cual determina una $E_\infty$-álgebra sobre $k$) proviene de un simplicial conmutativa $k$-álgebra. (El homotopy grupos de un simplicial anillo conmutativo han dividido los poderes, por una construcción explícita de que yo realmente no entiende.) La categoría de $E_\infty$-álgebras de más de $k$ tiene una buena interpretación a través de homotopy teoría: es la categoría de álgebra conmutativa objetos (en un sentido) en la categoría de conectivo $k$-módulo de espectros. (En particular, es monádico sobre conectivo $k$-módulo de espectros, en el $\infty$-categórica sentido). No sé qué pensar de simplicial conmutativa anillos de esta manera; todo lo que sé de la motivación es que se forma un buen homotopy teoría (por ejemplo, presentado por bastante modelo concreto de la categoría) que permite extender la categoría de ordinario conmutativa de los anillos (por ejemplo, para resolver la no-objetos lisos por las lisas).

Hay un análogo de la discusión anterior para $E_\infty$-álgebras que trabaja para simplicial conmutativa $k$-álgebras? En particular, puede ser descrito como álgebras de más de un agradable mónada para $k$-módulo de espectros?

Answer 1

No sé realmente una respuesta satisfactoria a esta pregunta, pero aquí hay un par de observaciones.

1) El $\infty$-categoría de simplicial conmutativa $k$-álgebras es monádico sobre el $\infty$-categoría de conectivo $k$-módulo de espectros. La correspondiente mónada es el nonabelian izquierda derivados functor de la "total simétrica poder" sobre ordinario $k$-módulos, que es diferente de la construcción de la $M \mapsto \bigoplus_{n} (M^{\otimes n})_{h \Sigma_n}$ si $k$ tiene de característica cero.

2) El $\infty$-categoría de simplicial commmutative anillos es libremente generados en el marco del cernida colimits por el ordinario de la categoría de finitely genera el polinomio de álgebras de más de $k$. En otras palabras, puede ser comprendido como el $\infty$-categoría de producto-la preservación de functors de los ordinarios de la categoría de $k$-de los esquemas que se afín espacios a la $\infty$-categoría de los espacios.

3) Deje $X$ ser afín a la línea de $k$ (en el sentido de la clásica geometría algebraica). Entonces $X$ representa el olvidadizo functor {conmutativa $k$-álgebras} -> {establece}. En consecuencia, $X$ tiene la estructura de un conmutativa $k$-álgebra en la categoría de esquemas. También, $X$ es plana por $k$.

Ahora, de las de cualquier otro esquema puede ser considerado como un espectral, el esquema de más de $k$: es decir, también representa un functor {conectivo E-infty álgebras sobre k} -> {espacios}. En general, los productos en la categoría de ordinario $k$-planes no tienen por qué coincidir con los productos en el $\infty$-categoría espectral $k$-esquemas. Sin embargo, no estoy de acuerdo con tv de $k$-esquemas. En consecuencia, $X$ puede ser considerado como un conmutativa $k$-álgebra en la $\infty$-categoría de derivados de $k$-esquemas. En particular, $X$ representa un functor {conectivo E-infty álgebras sobre k} -> {conectivo E_infty álgebras sobre k}. Este functor tiene la estructura de un comonad cuya comodules son los simplicial conmutativa $k$-álgebras.

Se puede resumir la situación de manera más informal diciendo: derivados de la geometría algebraica (basado en simplicial conmutativa $k$-álgebras) es lo que usted consigue cuando usted toma espectral de la geometría algebraica (basada en E-infty-álgebras de más de $k$), obligando a las dos versiones diferentes de los afín a la línea para que coincida.

4) El olvidadizo functor {simplicial conmutativa $k$-álgebras} -> {E-infty álgebras de más de $k$} es tanto monádico y comonadic. En particular, se puede pensar en un simplicial conmutativa $k$-álgebra $R$ como un E-infty álgebra sobre $k$ con alguna estructura adicional. Como Tyler se mencionó, una forma de pensar que una estructura adicional es que le da la capacidad de forma simétrica poderes de la conectivo módulos. Por supuesto, si $M$ cualquier $R$-módulo de espectro, siempre puedes formar la construcción de la $(M^{\otimes n})_{h \Sigma_n}$. Sin embargo, esto no se comportan de la forma en que se podría esperar en base a la experiencia en el ordinario de álgebra conmutativa: por ejemplo, si $M$ es libre (es decir, una suma de copias de $R$), a continuación, $(M^{\otimes n})_{h \Sigma_n}$ no necesita ser libre (a menos que $R$ es de característica cero). Sin embargo, cuando $R$ es un simplicial anillo conmutativo, hay una relacionada con la construcción conectivo $R$-módulo de espectros, dada por nonabelian izquierda derivados de functors de la habitual simétrica poder. Esto va a llevar gratis $R$-módulo de espectros a la libre $R$-módulo de espectros (a la espera de rango).

Es posible describir el $\infty$-categoría de simplicial conmutativa $k$-álgebras a lo largo de las siguientes líneas: una simplicial conmutativa $k$-álgebra es un conectivo E-infty álgebra sobre $R$ junto con una colección de simétrica poder functors Sym^{n} de conectivo $R$-módulos a sí mismo, además de un montón de axiomas y la coherencia de los datos. No recuerdo exactamente declaración (lo que recuerdo es que la ortografía esto resultó ser más problemas de lo que vale).

Answer 2

Dado un monoidal simétrica $\infty$categoría $\mathcal C$, se puede considerar $E_\infty$-objetos que hay en ella, y eso es todo, nada más. Por ejemplo, para un espectro, no hay nada más que $E_\infty$ que usted puede pedir que sea.

Ahora, si el monoidal simétrica estructura es el cartesiano producto, entonces usted puede también considerar lo que Jacob Lurie llamadas `muy conmutativa" los objetos en $\mathcal C$. Estos son más conmutativa de $E_\infty$.

Una muy conmutativa objeto en $\mathcal C$ es un objeto junto con una elevación de el correspondiente registro presheaf $\mathcal C^{op}\to \mathcal Spaces$ a un functor $\mathcal C^{op}\to$ {conectivo $H\mathbb Z$-módulos} = {topológico abelian grupos}. Por el contrario, una $E_\infty$-objeto en $\mathcal C$ (de nuevo estoy asumiendo que la estructura monoidal es cartesiano) es un ascensor para un functor $\mathcal C^{op}\to$ {conectivo $\mathbb S$-módulos} = {bucle infinito espacios}.

Answer 3

Yo no tengo nada no trivial y no digressive a decir, pero podría ayudar a señalar en un modo elemental algunas cosas que pueden ser relevantes. Una manera de pensar acerca de las cosas es que hay distinciones en álgebra que carecen de equivalentes en los espectros. Esto se refiere a las respuestas de la $\infty$ categoría de punto de de vista de la pregunta original, pero tal vez es más explícito y concreto.

La declaración de la pregunta puede ser un poco confuso, ya hay quizá seis en lugar de dos categorías naturales a considerar, así que me pedantically hacer una lista más completa, con todo a través de algunas anillo conmutativo $k$. Como una broma inicio, aviso que simplicial álgebras conmutativas son los mismos que conmutativa simplicial álgebras. Sin embargo, simplicial $E_{\infty}$ álgebras de no tiene ningún sentido (ya que no estamos pensando en una teoría homotopy en la llanura de álgebras), mientras que $E_{\infty}$ simplicial álgebras podría sentido: como yo lo entiendo, que es donde el problema acerca de simétrica poderes entra.

(1) conmutativa de la DG $k$-álgebras

(2) $E_{\infty}$ DG $k$-álgebras

(3) conmutativa simplicial $k$-álgebras = simplicial conmutativa $k$-álgebras

(4) $E_{\infty}$ simplicial $k$-álgebras?

(5) conmutativa $Hk$-álgebras en una buena categoría de los espectros.

(6) $E_{\infty}$ $Hk$-álgebras en una buena categoría de espectros

El plazo $k$-módulo de espectros en la pregunta, y algunas respuestas medios de $Hk$-módulo, Supongo que, donde $Hk$ es el Eilenberg-MacLane espectro para $k$. Me parece útil para mantener una anotación distinción. Mandell demostrado que $E_{\infty}$ $k$-álgebras de (álgebra) son equivalentes a $E_{\infty}$ $Hk$-álgebras (topología). Es decir, (2) y (6) son equivalentes: el algebraicas y topológicas nociones de $E_{\infty}$ son equivalentes, por supuesto, la restricción de la última de Eilenberg-MacLane álgebras.

En álgebra, la evidente olvidadizo functor de la propiedad conmutativa de la DG $k$-álgebras a $E_{\infty}$ $k$-álgebras de una equivalencia para los campos de característica 0 pero en general no lo contrario. Es decir, (1) y (2) no son equivalentes.
De forma análoga, si el sentido puede ser de (4), entonces no es un functor de conmutativa simplicial $k$-álgebras de a $E_{\infty}$ simplicial $k$-álgebras de que no es una equivalencia.

En topología, el mundo de los espectros, el éxito del producto se basa en una mayor homotopies y no hay distinción entre conmutativa $Hk$-álgebras y $E_{\infty}$ $Hk$-álgebras: (5) y (6) son equivalentes. Andre respuesta es un $\infty$categoría la versión de este: "en general, no hay nada más que $E_{\infty}$ a pedir". Pero el verdadero topológica de la razón en el caso de los espectros es un milagro de la teoría moderna de los espectros. Para el bien de los espectros en una buena categoría de los espectros, la natural mapa de el homotopy simétrica poder de la simetría del poder

$$ (E\Sigma_n)_{+}\wedge_{\Sigma_n} X^n \longrightarrow X^n/\Sigma_n $$

es una equivalencia, donde $X^n$ es el $n$veces smash de potencia. (Creo que he anunciado esto en respuesta a alguna otra pregunta, pero vale la pena repetir.) Uno no puede esperar nada como esto en álgebra, excepto cuando se trabaja sobre un campo de característica $0$.

En el modelo categórico sentido, no parece ser una buena homotopy teoría de la propiedad conmutativa de la DG $k$-álgebras (ignorando el trivial racional caso), y por analogía uno no espera una buena homotopy teoría de simplicial conmutativa álgebras. No es un buen modelo teórico homotopy teoría de la $E_{\infty}$ DG-álgebras.

En la no-conmutativa caso, la pregunta ha sido contestada, principalmente por Brooke Shipley.
Con la palabra conmutativa eliminado y $E_{\infty}$ reemplazado por $A_{\infty}$, estoy bastante asegúrese de que todos los 6 homotopy categorías de sentido y son equivalentes.

Varias personas han mencionado que equivariant homotopy teoría. Akhil, el cartesiano poder (o aplastar el poder en el contexto) $X^n$ de un espacio de $X$ es claramente un $\Sigma_n$-espacio; nada de eso. Tal vez usted está pensando de los genuinos de los espectros. De cualquier manera, Elmendorf del teorema no es especialmente relevante. La pregunta anterior usted se refiere pidió un homotopy colimit versión de la infinita simétrica de energía de los espacios. La equivalencia anterior puede ser subido a decir que en las modernas categorías de los espectros, el ingenuo homotopy colimit y categórica colimit construcción de infinito simétrica poderes de los espectros de dar el equivalente de respuestas, lo que es extraño de un pre-1990 vista de homotopy teoría. Hay interesantes a la vieja usanza simétrica poderes de los espectros, y ellos son diferentes. No entiendo en el mundo moderno.

En el mundo de la $G$-espectros, las cosas son mucho más interesantes. Hay muchos tipos de operadically definido anillo conmutativo $G$-espectros. Esta es la nueva de empezar a trabajar con Hill y Hopkins y continuó por Blumberg y de la Colina, como aún no escritas (al menos no todavía para el consumo público). La comparación entre el álgebra y la topología es fascinante y será relevante para la teoría de la representación, así como a la topología algebraica, o eso creo. El antiguo trabajo de Lewis y yo es que parte de la historia que más directamente imita el nonequivariant caso. Creo ver cómo comprender equivariant unidades en el nuevo contexto, y hay un papel relevante por Santhanam, en el "clásico" de contexto, pero no hay más que decir, incluso ahí, es parte de un tratamiento completo de equivariant bucle infinito espacio de la teoría de ahora en progreso en Chicago.

Answer 4

Esto se basa en conversaciones con Tom Goodwillie acerca de Tyler y de Jacob respuesta.

André señala una situación análoga: topológica abelian grupos de espectros como simplicial conmutativa anillos se $E_\infty$-álgebras. Un tercer ejemplo es el LMS de la teoría de $E_\infty$-$G$-anillos, que refinar $E_\infty$-anillos en la categoría de $G$-espectros, pero en una dirección diferente. Una de las motivaciones para los dos anillos de los ejemplos es el de las unidades; y esta es una manera de decirle que en verdad son diferentes teorías: Las unidades de una $E_\infty$-$\mathbb Z$-álgebra forman un espectro, mientras que las unidades de un simplicial conmutativa anillo son elevadas a los complejos de la cadena; de manera similar, las unidades de una conmutativa $G$-ring son elevadas a $G$-espectros, mientras que las unidades de $E_\infty$-álgebra en $G$-spectra es algo más débil, tal vez un diagrama de fijo espectros.

Jacob dio dos maneras en las cuales simétrica poderes entrar. En (1), al igual que Tyler, miró a la mónada de simplicial conmutativa anillos de más de $\mathbb Z$-módulos, mientras que en (4), miró a la mónada de simplicial conmutativa $A$-álgebras de más de $A$-módulos como la grabación de la simplicial conmutativa de la estructura en $A$. En general, no sólo para $\mathbb Z$, esta mónada está construido de simétrica operaciones de energía. Sólo como un $E_\infty$-$A$-álgebra estructura en $B$ implica la elevación de la multiplicación $B^{\otimes n}\to B$ a $(B^{\otimes n})_{h\Sigma_n}$, los tensores de ser más de $A$, el simplicial estructura de anillo conmutativo ascensores a algún tipo de simétrica poder functor. Desde una $E_\infty$-álgebra $A$ puede levantar en múltiples formas a un simplicial anillo conmutativo, esto muestra que el simétrico de operaciones de energía en $A$-módulos no están determinadas por la monoidal simétrica estructura en $A$-módulos. Por lo tanto, como Tyler dice, se necesitan más estructura en $\mathbb Z$-módulos. De hecho, no hay una única estructura, ya que no hay una única simplicial estructura de anillo conmutativo en $\mathbb Z$, pero para entender lo que la estructura es, probablemente deberíamos entender que en otras categorías de módulos.

Recordemos que poner un $E_\infty$ estructura de un álgebra asociativa $A$ es equivalente a poner un monoidal simétrica estructura en su categoría de módulos. Hay un refinamiento de esta estructura en los módulos de los que es equivalente a un simplicial estructura de anillo conmutativo en el álgebra? He visto ninguna prueba, pero me imagino que el enunciado de esta manera es formal. La pregunta es si esta estructura puede ser entendido, tal vez en términos de generadores y relaciones. El punto de mi respuesta es sugerir un mejor conjunto de generadores.

Simétrica poder operaciones son necesarias, ya que son constituyentes de la mónada, pero creo que son secundarios. En la categoría de módulos de una $E_\infty$-álgebra no son simétricas poder operaciones de $M\mapsto (M^{\otimes n})_{h\Sigma_n}$, pero son una consecuencia de la simetría del grupo de acción sobre $M^{\otimes n}$. Me interpretar André ejemplo de como levantar el espacio con $\Sigma_n$-acción a una $\Sigma_n$-espacio, que es un diagrama de espacios fijos (por ejemplo, $(Y^{\Sigma_2} \to Y) = (\Delta\colon X\to X^2)$). De la $\Sigma_n$-espacios, uno puede extraer el cociente objetos para construir la mónada, pero espero que la coherencia es mejor que en el caso de cocientes, aunque no espero que esto sea una buena respuesta, pero más de una pista en la dirección correcta.

Que es, creo que no debería ser un refinamiento de un monoidal simétrica categoría en la que el $n$th poder functors de manera coherente levantamiento de objetos con $\Sigma_n$-acción a $\Sigma_n$-objetos. Entonces uno puede extraer simétrica operaciones de energía y por lo tanto definir conmutativa monoids respecto a esta estructura. No debe ser trivial refinamiento en la que la acción es libre y la conmutativa monoids recuperar la $E_\infty$-objetos. En una categoría cuyo producto tensor es de la categoría de producto, debe haber dos estructuras, una trivial dando a $E_\infty$-objetos y canónica de la no-trivial, uno construido a partir de las diagonales dando muy conmutativa objetos. Por desgracia, cuando uno pasa de los espacios a los espectros, las cosas se ponen más complicadas; si recuerdo correctamente, y puede ser necesario reemplazar los diagramas de punto fijo objetos con un análogo de pleno derecho $\Sigma_n$-espectros, sin duda, por $G$-anillos y tal vez para simplicial conmutativa anillos. Independientemente de si podemos entender la coherencia, debemos entender cómo mucho la estructura que se puede poner en la $n$th poder funtors.