Deje que me escribió una introducción rápida a esta idea:
1) las configuraciones regionales
No sé si ya está familiarizado con la noción de configuración regional que Andrej se está refiriendo en su charla: son una pequeña variación en la idea de un espacio topológico, donde en lugar de definir un espacio dándole un conjunto de puntos junto con una colección de subconjuntos de" estable bajo arbitraria sindicatos y finito intersecciones, uno simplemente se da un resumen conjunto ordenado de "abrir subespacios" que debe tener arbitraria supremums y finito infimums y tales que el binarios infinimum distribuir más arbitrario supremum. Un poset es una llamada de un Marco (esto es en realidad el mismo como un álgebra de Heyting), una de morfismos de marco es una ordenó preservar mapa que los desplazamientos a lo finito infimums y arbitraria supremums. Y los lugares se definen como acaba de ser "el opuesto de la categoría de marcos", es decir, una configuración regional es sólo un marco, y morfismos de las configuraciones regionales son morfismos de marco en la otra dirección.
Es más fácil pasar de un espacio topológico a una de las configuraciones regionales por tan sólo recordar que el poset de abrir subespacios, y adjuntar a un mapa continuo de su acción sobre subconjunto abierto por la pre-imagen.
Por el contrario, si uno tiene una configuración regional $X$, se puede definir un "punto" de como morfismos de la configuración regional correspondiente al punto de topológica del espacio a $X$, no es una topología sobre este conjunto de puntos (generado por el elemento de la estructura correspondiente a $X$) y estas dos construcciones en forma de una contigüidad entre los locales y espacios topológicos, que puede ser demostrado ser una equivalencia entre los más grandes subcategorías. Más precisamente, se induce una equivalencia entre "sobrio espacios topológicos" y "espacial locales", donde espacial de localización de las configuraciones regionales "tener suficientes puntos" en un sentido técnico preciso.
Sin embargo, hay algunos lugares que no tienen ningún punto en absoluto. En el primero se puede considerar como patológicas monstruo, pero, de hecho, parece que al menos algunos de ellos son muy naturales y muy interesante objetos (cosas como el espacio de la "genérico de los números reales" o "aleatoria de los números reales" que Andrej mencionó en su charla, o el "espacio de bijection" entre dos conjunto infinito de diferentes cardinalidad, cuyo no trivialidad es los puntos clave para Cohen obligando a las obras).
A pesar de esto, clásicamente, locales y espacios topológicos son muy similares (por ejemplo, si usted está interesado sólo en la más completa de métricas de espacios o localmente compacto espacios no notará la diferencia), pero la categoría de locales en general es (probablemente) ligeramente mejor comportamiento de la categoría de espacios topológicos.
Pero de manera constructiva, es mucho más difícil de construir la "puntos" de localizaciones y mucho más regional parece ser no-espacial. Esto hace que la brecha entre espacios topológicos y locales considerablemente más grande. Y en esta más débil marco, las locales se vuelven increíblemente mejor comportamiento de espacios topológicos. Por ejemplo, sin la ley de medio excluido de la definición correcta de la configuración regional de número real podría ser no-espacial, sino que siempre es localmente compacto, aunque es bien sabido que de forma constructiva el espacio topológico de los números reales que no pueden ser localmente compacto (esta es una de las cosas malas que suceden en el análisis constructivo que Andrej mencionó en su discurso). De hecho, se sabe que ellos están de acuerdo, si y sólo si el espacio topológico de número real es localmente compacto.
De igual manera, muchos de los clásicos teorema que requiert el axioma de opciones de convertirse en totalmente constructiva cuando formulado en términos de configuraciones regionales. Este el caso por ejemplo de la Tychonov teorema, el Hahn teorema de Banach, o la Gelfand la dualidad.
Por ejemplo, la idea de la Hahn teorema de Banach es que en lugar de preguntar por la existencia de cierta forma lineal o extensión de forma lineal, se construye un espacio (un lugar) de forma lineal y demostrar que este no es el espacio vacío (incluso si no hubiera puntos) y que el mapa entre estos espacios inducida por la restricción a un subespacio es siempre un "surjection" en un buen localic sentido. Y esto aproximadamente también lo que sucede por las Gelfand la dualidad o el caso del anillo de espectro que vamos a discutir a continuación
Recomiendo echar un vistazo a Pedro Johnstone excelente no técnico introducción el papel para el tema "El punto de sentido topología" , que se ampliarán en lo que acabo de decir. y probablemente explica más claramente.
2) Los localic Zariski espectro
Así, la idea inicial es que uno puede construir la Zariski espectro de un anillo, junto con su estructurales gavilla directamente como un lugar sin mencionar nunca el primer ideal o ideal maximal. Por ejemplo, uno puede simplemente dice que el poset de abierto está dada por la (opuesto) de la poset de radicales ideal del anillo. También se puede dar una presentación por el generador y la relación de la trama correspondiente, que es más conveniente para trabajar con. Esto se hace por ejemplo en la sección V. 3 de la P. T. Johnstone del libro "la Piedra de los espacios". Y aunque el primer ideal son un poco peligrosas, de manera constructiva, ya que pueden no existe, los ideales no son problemáticos en todo, siempre tiene un montón de ellos.
Esta configuración regional que estamos construyendo es todavía moralmente el "espacio de primer ideal de los anillos" pero la cuestión de si el anillo tiene realmente ningún primer ideal o no se conviertan solo en la cuestión de si este espacio tiene puntos o no, que un lugar de importancia de la pregunta en la configuración regional de la teoría.
De hecho, si usted está familiarizado con la noción de clasificación de los topos, es el "espacio de prime ideal" en el sentido de que es la clasificación de espacio para el primer ideal, más precesely para "el primer complemento ideal", es decir, subconjunto $O$ de el anillo tal que ($xy \in O \Rightarrow x \in O \text{ and }y \in O$; $0 \notin O$; $1 \in O$ ; $x+y \in O \Rightarrow x \in O \text{ or } y \in O$) que clásicamente son exactamente los complementos de primer ideal, y construcively son más importantes porque son las cosas que usted necesita para obtener una configuración regional anillo al localizar.
Este vamos a ir a través con la definición de un esquema constructivo de configuración. Parece que la mayoría de los resultados clásicos de la geometría algebraica se convirtió constructivo cuando se formulan con locales en lugar de los espacios (y colocación de instrucción que implican la existencia de primera o de máxima ideal por declaración acerca de la propiedad de este "espacio de primer ideales" de manera similar a la de Hahn de banach teorema anterior). Por desgracia, salvo cosas muy básicas, estas son en su mayoría "folk theorem" y no muy a menudo aparece en la literatura (porque, seamos realistas, no muchos algebraicas aparejador están interesados en constructivisme...). Con la excepción de la obra de Ingo Blechschmidt que menciono a continuación.
De hecho, (pero eso es una opinión personal) yo siempre he encontrado que, para alguien que ya está familiarizado con la configuración regional de la teoría, los localic el tratamiento de la propiedad básica de la Zariski espectro son notablemente más sencilla de lo habitual topológico de tratamiento.
3) la lógica Interna
El último paso de esta historia se basa en el uso de la "lógica interna". La idea es que si usted trabaja internamente en (el topos de las poleas por encima) de los localic Zariski espectro, entonces usted realmente tiene un "primer ideal de su anillo" (más exactamente, usted tiene un "localización de sistema", que satisface las propiedades a ser el complemento de un alojamiento ideal mencionado anteriormente) y este primer ideal es, en cierto sentido, el universal, el primer ideal de su anillo (demostrando una propiedad para este primer interna ideal demuestra la propiedad para todos el primer ideal de su anillo) y un gran número de pruebas que se basa en el axioma de elección, ya que dice que en algún momento "sea M una máxima/primer ideal de su anillo" (por ejemplo, si usted probar que alguno de los elementos es nilpotent porque pertenece a todos prime ideal) a ser constructiva si, en lugar de elegir un alojamiento ideal, se mudó a esta lógica interna y el uso de la universal.
Esto produce un muy eficiente y método automático para hacer un montón de resultados de álgebra y geometría algebraica constructivo.
Esta idea de la explotación de la lógica interna en la geometría algebraica tienden a hacer todo lo constructivo y ha sido llevado bastante lejos por Ingo Blechschmidt (se puede ver a uno de sus hable aquí, o leer su trabajo de tesis aquí)
A mi entender, la obra de Ingo es el único lugar donde encontrará una trivial tratamiento de la geometría algebraica que el uso de esta imagen.
Para otro ejemplo, otro lugar completamente diferente desde el primer ideal, donde se hará uso de la no-cosas constructivas en el álgebra o la geometría algebraica es cuando se quiere hablar de la clausura algebraica de los campos. Pero parece que este punto de vista también proporcionar una solución. En general, usted no puede construir un único algebraicas cierre de un determinado campos, pero lo que se puede hacer es considerar el "espacio de todos algebraicas cierre del campo", en el sentido de la teoría de la clasificación de topsoes. Este veces esto no va a ser incluso una configuración regional, pero de un tipo más general de topos, y parece que este topos es algo que realmente se ha estudiado mucho por algebraica de los geómetras: de hecho, si usted comienza a partir de algunas anillo de $R$ y estudiar el "espacio de todos algebraicas cierre de todos los residuos de los campos de $R$" que se define de una manera adecuada, lo que se obtiene es nada más que el "pequeño étale topos de $R$". Ver el trabajo de Gavin Wraith sobre el tema.
