Ramanujan's $\tau(n)$ y fracciones continuas

Question

En el artículo de D.H. Lehmer "La función de Ramanujan $\tau(n)$ (Duke J. Math v. 10 1943, pp. 483-492), Lehmer afirma la conjetura de Ramanujan $|\tau( p )|< 2p^{11/2}$ para que $p^{-11/2}\tau( p )=2\cos(\theta_p)$ donde $\theta_p$ es real. Observa que "es interesante observar que $2\cos(\theta_{11})=1.000872909\ldots$ ", es decir, que $\theta_{11}$ está muy cerca de $\pi/3$ .

De hecho, Mathematica calcula que $\theta_{11}/\pi=0.333172889904775\ldots$ No hay nada especial en la expansión como decimal, así que miré en su lugar la expansión de fracción continua, que Mathematica también puede hacer. Uno encuentra que es $ \{0, 3, 692, 5, 4, 1, 2, 3, 1, 2,\ldots\} $ El $3$ es esperable, al igual que el hecho de que el siguiente término sea grande. Pero que sea 692 me sorprende, recordando que $\tau(n)\equiv \sigma_{11}(n) \bmod 691$ (que se debe al propio Ramanujan).

He mirado otros pesos y niveles sin ninguna percepción. También he mirado expansiones de fracciones continuas no tradicionales con alternancia de $\pm$ signos, y numeradores distintos de 1, para ver si podía hacer aparecer el 691 (v. 692) en su lugar.

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Los "ángulos propios $\theta_p$ claramente llevan información aritmética profunda que proviene de las representaciones de Galois, como otros en este sitio pueden explicar mucho mejor que yo. Pero, ¿se puede probar algo sobre estas expansiones de fracciones continuas? Cualquier cosa que sea cierta es probable que sea bastante profunda, así que una pregunta más realista (pero vaga) es:

¿Hay otros ejemplos de este tipo de "numerología"?

Answer 1

Ya que el OP pidió otros ejemplos de este tipo de numerología,voy a dar otro para apoyar su observación

La función $\cos(\theta_{11})$ tiene la siguiente forma cerrada

$\cos(\theta_{11})=\frac{\sigma_{1}(11)}{22\sqrt{11}}-\frac{12\sum_{k=1}^{10} (2178k^2-572k^3+35k^4)\sigma_{1}(11-k)\sigma_{1}(k)}{161051\sqrt{11}}\tag1$

y la fracción continua

$\cos(\theta_{11})=\{0;1,1,572,3,2,1,2,1,2,2,4,3,1,6,\dots\}\tag2$

donde vemos claramente $572$ que aparece tanto como coeficiente en la suma $(1)$ y el mayor cociente parcial en los primeros cocientes parciales de la fracción continua $(2)$

¿Es una coincidencia?

Editado :03 Sep 2017

Y también

$2\cos(\theta_{11})=\frac{\sigma_{1}(11)}{11\sqrt{11}}-\frac{12\sum_{k=1}^{10} (4356k^2-1144k^3+70k^4)\sigma_{1}(11-k)\sigma_{1}(k)}{161051\sqrt{11}}\tag3$

con la siguiente fracción continua

$2\cos(\theta_{11})=\{1;1145,1,1,2,6,2,2,1,1,1,1,1,2,3,\dots\}\tag4$

donde $1145$ es el 0º cociente parcial en la fracción continua $(4)$ y $1144$ aparece como coeficiente en la fórmula $(3)$

Nota: : Identidad $(1)$ es un caso especial de la identidad que se encuentra en A000594 OEIS cuando $n=11$

$\tau(n)=n^4\sigma_{1}(n)-24\sum_{k=1}^{n-1} (18n^2k^2-52nk^3+35k^4)\sigma_{1}(n-k)\sigma_{1}(k)$