Axioma de simetría, también conocido como el argumento de Freiling contra CH

Question

Hola! Me gustaría abrir un debate sobre el Axioma de Simetría de Freiling, ya que no he encontrado en MO una dedicada pregunta. La primera vez que voy a intentar resumir, y al preguntar a un par de preguntas.

DESCRIPCIÓN

El Axioma de Simetría, se propuso en 1986 por Freiling y los estados que

$AS$: para todos los $f:I\rightarrow I_{\omega}$ el siguiente se tiene: $\exists x \exists y. ( x \not\in f(y) \wedge y\not\in f(x) )$

donde $I$ es el verdadero intervalo de $[0,1]$, e $I_{\omega}$ es el conjunto de contables subconjuntos de $I$.

Se sabe que $AS = \neg CH$. Lo que hace este axioma interesante es que se explica y se justifica el uso de un aparentemente claro probabilístico argumento, que voy a tratar de formular como sigue:

Fijemos $f\in I\rightarrow I_{\omega}$. Tiramos dos dardos en el real intervalo de $I=[0,1]$ que va a llegar a algunos puntos de $x$ e $y$ al azar. Supongamos que, cuando el primer dardo golpea $I$, en algún momento $x$, el segundo dardo sigue volando. Ahora desde $x$ es fijo, y $f(x)$ es contable (y, por tanto, null) la probabilidad de que el segundo dardo llegará a un punto de $y\in f(x)$ es $0$. Ahora Freiling dice (cito),

Ahora, por la simetría de la situación (el número real de la línea de no saber realmente que dart fue lanzado primero o segundo), también podemos decir que el primer dardo no estará en el set $f(y)$ asignado a la segunda.

Este es deliberadamente una declaración informal que se puedan encontrar intuitiva o no. Sin embargo, Freiling concluye diciendo básicamente que, desde escoger dos reales $x$ e $y$ al azar, tenemos casi seguramente un par de $(x,y)$ de manera tal que, $x \not\in f(y) \wedge y\not\in f(x) )$, entonces, al menos, existe un par y lo $AS$ mantiene.

DISCUSIÓN

Si intenta formalizar el escenario, probablemente modelo de "tirar los dos dardos" como la elección de un punto de $(x,y) \in [0,1]^{2}$. Se ha corregido un arbitrario $f\in I\rightarrow I_{\omega}$, Freiling el argumento de que sería bueno, si el conjunto de

$BAD = ${$(x,y) | x\in f(y) \vee y \in f(x) $}

ha probabilidad $0$. $BAD$ es el conjunto de puntos que no cumplen las restricciones de $AS$. Si $BAD$ habían medida cero, que encontrar un buen par sería sencillo, basta con elegir al azar uno! En mi opinión, el argumento sería igual de bueno, si $BAD$ había "medir" estrictamente menor que $1$. En este caso podemos necesitar un montón de intentos, pero casi seguro que iba a encontrar un buen par después de un tiempo.

Sin embargo $BAD$ no necesita ser medibles. Podríamos esperar que $BAD$ había outermeasure $<1$, esto sería todavía lo suficientemente bueno, yo creo.

Sin embargo, si $CH$ sostiene que existe una función de $f_{CH}:I\rightarrow I_{\omega}$ tal que $BAD$ es en realidad el conjunto total $[0,1]^{2}$!! Esta $f_{CH}$ se define el uso de un bien de orden de $[0,1]$ y la definición de $f_{CH}(x) = ${$y | y \leq x $}. En $CH$ el conjunto $f(x)$ es contable para cada $x\in[0,1]$. Por lo tanto

$BAD = ${$ (x,y) | x\in f_{CH}(y) \vee y \in f_{CH}(x) $}$ = ${$ (x,y) | x\leq y \vee y \leq x $}$ =[0,1]^{2}$

Así que parece que bajo esta formulación del problema, si $CH$ entonces $\neg AS$, lo cual no es sorprendente en absoluto, ya $ZFC\vdash AS = \neg CH$. Además no veo ningún problema relacionado con la "medición" de $BAD$.

PREGUNTAS

Está claro que no es posible formalizar y demostrar $AS$. No obstante, la discusión anterior parece muy claro para mí, y sólo se sigue que si $CH$ que $BAD$ es el conjunto total $[0,1]^{2}$. sin la necesidad de cualquier no-medibles o conjuntos de cosas extrañas. Y desde escoger al azar un punto en $[0,1]^{2}$ es como lanzar dos dardos, la verdad creo que no $AS$ debe ser cierto, o al menos yo no encuentro la probabilístico explicación muy convincente.

Por otro lado hay algo que intuitivamente verdadero en Freiling del argumento.

Mis preguntas, (bastante vago, aunque, me gustaría saber lo que piensa acerca de $AS$), son los siguientes.

A) Claramente Freiling tiene su punto, sobre la base de que los axiomas de la teoría de la probabilidad son demasiado restrictivas, y no la captura de todas nuestras intuiciones. Esto podría ser cierto si el problema era con un extraño que no se pueden medir conjuntos, pero en la discusión anterior, no de esas cosas raras se utilizan. ¿Me olvido de algo?

B) Después de $AS$ fue introducido, alguien trató de adaptar algunos "la probabilidad de la teoría de la" captura de Freling sus intuiciones? Más en general, ¿hay algún seguimiento, usted conoce?

C) ¿Dónde ve usted que Freiling el argumento de que se desvíe (incluso filosóficamente) de mi discusión el uso de $[0,1]^{2}$. Sospecho que la crucial diferencia conceptual, es ver a la elección de dos aleatorias reales como, necesariamente, una elección al azar de una después de la otra, pero con la propiedad de que esta arbitraria no-determinista de la elección, no tiene consecuencias en todos.

Gracias de antemano,

Matteo Mio

Answer 1

El punto es que las violaciones de el Axioma de Simetría son fundamentalmente relacionadas con la no-medibles conjuntos, y contraejemplo funciones de $f$ a, COMO no puede ser agradable funciones medibles.

Has demostrado ser la dirección de un $CH\to \neg AS$, que si hay un orden de los reales en el tipo de orden $\omega_1$, entonces la función de $f$ que se asigna a cada real de a sus predecesores viola COMO. Observar en este caso que el conjunto de pares $\{(x,y) \mid y\in f(x)\}$ tiene todas las secciones verticales contables, y todos los horizonatal secciones co-contables, que violaría el teorema de Fubini si eran mensurables. Por lo que no es mensurable.

Por el contrario, para la dirección $\neg AS\to CH$, todos los violaciones de COMO tienen esencialmente este formulario. Para ver esto, supongamos que $f$ es una función sin la simetría la propiedad, por lo que para cualquiera de los dos reales $x$ e $y$, ya sea $x\in f(y)$ o $y\in f(x)$. Para cualquier real $x$, vamos a $A_x$ ser el cierre de $x$ bajo $f$, obtenido de forma iterativa la aplicación de $f$ a $x$ y para cualquier real en $f(x)$, y así sucesivamente todos los reales de forma iterativa. Por lo tanto, $A_x$ es un conjunto contables de reales y cerrado bajo $f$. Definir una relación $y\leq x$ si $y\in A_x$. Esta es una reflexiva y transitiva de la relación. El la simetría de la asunción en $f$ exactamente asegura que este la relación es lineal y relaciones, de modo que cualquiera de las $x\leq y$ o $y\leq x$ para cualquiera de los dos reales. Así es lineal pre-orden. Además, todo correcto segmentos inicial de la pre-orden son contables, desde cualquier segmento inicial de la figura en algunos $A_y$. En otras palabras, la relación $\leq$ es un $\omega_1$-como lineal de la pre-orden de los reales. Esto implica CH, ya que el cofinality de este orden puede ser en la mayoría de los $\omega_1$, de lo contrario, no sería un incontable segmento inicial, y por lo $\mathbb{R}$ sería un $\omega_1$-unión de conjuntos contables. Esto es, el argumento muestra que cada contraejemplo COMO surge esencialmente de la misma manera como en su CH argumento, pero el uso de una pre-orden en lugar de un bien de orden.

Tenga en cuenta que el conjunto de $A=\{(x,y)\mid y\in A_x\}$ es no se pueden medir por el mismo Fubini argumento: todos los vertical rebanadas son contables, y todos los cortes horizontales co-contables.

Mi opinión es que cualquier filosófica, pre-reflexión o intuitiva del concepto de probabilidad tendrá un problema fundamental en el trato con los subconjuntos del plano para que todas las secciones verticales son contables y todas las secciones horizontales son co-contables. Para este tipo de conjunto, de una dirección que se ve muy grande, y de la otra dirección se ve muy pequeño, pero nuestro concepto intuitivo es sin duda que la rotación de un conjunto no debería afectar a nuestro juicio, de su tamaño.

Answer 2

En realidad, en lo que respecta a su pregunta B), existe un gran cardenal axioma que implica $AS$. Su enlace al artículo de wikipedia sobre Freiling el axioma de simetría establece lo siguiente, en la sección "Objeciones a Freiling del Argumento":

"El ingenuo probabilística de la intuición utilizado por Freiling tácitamente se asume que hay un bien se comportaron de manera de asociar una probabilidad a cualquier subconjunto de los reales."

Esto es importante, porque la verdad o falsedad de $CH$ está íntimamente relacionada con la capacidad para asignar a cada subconjunto de los reales, una medida de probabilidad.

Considere la siguiente definición de la Wikipedia artículo sobre medibles cardenales:

"Un cardenal $\kappa$ es un valor real medible iff hay un $\kappa$-aditiva de la probabilidad de medir en el juego de poder de $\kappa$ que se desvanece en los embarazos únicos" (es decir, los únicos han probabiity medida cero).

Axioma. Deje $\mathfrak c$ ser la cardinalidad del continuo. $\mathfrak c$ es un valor real medible.

Considere también las siguientes equivalencias del mismo artículo de la wikipedia:

"Un valor real medible cardenal ='$\mathfrak c$' existe en el fib no es un countably aditivo extensión de la medida de Lebesgue para todos los conjuntos de reales iff hay un atomless probabilidad de medida en $\mathscr P$($\mathfrak c$).

Tenga en cuenta también que el artículo de la wikipedia en Freiling el axioma de simetría vinculado a su pregunta estados que $AS$ es equivalente a $\lnot$$CH$ por un teorema de Sierpinski, y también establece que, en 1929, de Banach y Kuratowski demostrado que $CH$ implica que el $\mathfrak c$ no es un valor real medible.

Así que considere el contrapositivo de esa declaración, que si $\mathfrak c$ es un valor real medible, entonces $\lnot$$CH$. Desde $AS$ es equivalente a $\lnot$$CH$, a continuación, "$\mathfrak c$ es un valor real medible" implica inmediatamente $AS$. Por la definición de un valor real y medible que el mencionado equivalencias se encuentra en el artículo de wikipedia sobre medibles cardenales, Freiling del prereflective probabilístico argumento parece ser esencialmente correcto.

Esto se ve confirmado por Noa Goldring en su papel de "Medidas de ida y Vuelta Entre el punto de Conjuntos y Conjuntos Grandes", (El Boletín de la Lógica Simbólica, Vol. 1, Número 2, junio de 1995, páginas 182-183 notas de pie de página 17 y 18 años-también ibid, pp 171-188.