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En primer lugar, debemos echar un vistazo a cómo el balón rebota en el primer lugar, ya que esto es bastante difícil para el instante rebotes. Considere la siguiente etapa:
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Una esfera con un poco de impulso inicial $\vec p$ se mueve a la derecha y choca con algo de pendiente. Vamos a pasar por alto la gravedad, por ahora, porque este problema va a ser bastante complicada. Durante la colisión de una fuerza que actúan sobre la pelota y no tenemos cómo esa fuerza se ve exactamente, pero sabemos dos cosas
- La fuerza es una fuerza normal, por lo que durante la colisión de la fuerza será a lo largo de una línea que une el punto de contacto y el centro de la bola (véase la flecha roja en la imagen)
- La energía se conserva (el ambiente ideal) lo $|\vec{p}\,'|=|\vec p|$ donde $\vec p\,'$ es la velocidad después de la colisión.
De esto podemos concluir que el impulso cambiará de la siguiente manera:
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El impulso es girado por $2\theta$ desde $\Delta p$, la flecha roja, tiene que ser paralela a la fuerza normal. Ahora aplicar esto a los dos casos de borde que usted ha mencionado a ver que esto tiene sentido. Para la cabeza en caso de colisión frontal tenemos $\theta=\pi/2$ por lo que el impulso se rotará por $\pi$. Esto significa que la partícula se recuperará directamente como se esperaba. Para el caso con el gran arco tenemos una variación continua de la curva. Vamos a romper la curva en muchos de los segmentos de línea y tomar el límite hacia una curva continua. En este límite, el ángulo entre dos secciones va a cero, por lo que el ángulo en el que la pelota rebota lejos también va a cero. La pelota se mantiene pegado a la curva como se esperaba.
Veamos ahora el caso en que el radio de curvatura es igual al radio de la bola. Este caso es complicado y tenemos que tomar algunas decisiones. Vamos a considerar un corto intervalo de tiempo durante el cual la colisión ocurre. Toda la parte inferior derecha trimestre de la pelota experimenta una fuerza en el mismo tiempo, pero realmente no sabemos cómo esta fuerza se distribuye. Voy a hacer el siguiente supuesto de manera que lo podemos calcular algo: la fuerza en cada punto de contacto es proporcional a $\hat r\cdot\vec v$, donde $\vec r$ es el vector de unirse al centro de la bola y el punto de contacto y $\hat r=\tfrac 1 r\vec r$. La fuerza es también en la dirección de $\hat r$ ya que es una fuerza normal. Convencerse de que esto está de acuerdo con el caso que he mencionado en primer lugar. Yo defino $\phi$ tal que $\phi=0$ a más a la derecha del punto de contacto y $\phi=\pi/2$ en el menor punto de contacto.
El cambio total en el impulso se puede ahora escribirse como una integral sobre todos los ángulos de contacto ($\phi$). Puesto que no sabemos la magnitud exacta, sin embargo, yo introducir un factor de $c$ a determinar.
$$\Delta \vec p\propto\int (-\hat r\cdot \vec v)\hat r\mathrm{d}\phi\\
=c\int_0^{\pi/2} (-\cos\phi)\begin{pmatrix}\cos\phi\\-\sin\phi\end{pmatrix}\mathrm{d}{\phi}\\
=c\begin{pmatrix}-\pi/4\\1/2\end{pmatrix}$$
La última línea que se usa $$\int_0^{\pi/2}-\cos^2(\phi)\,\mathrm{d}\phi=-\pi/4,\int_0^{\pi/2}\cos(\phi)\sin(\phi)\,\mathrm{d}\phi=1/2$$
Para determinar el $c$ yo uso conversación de enery de nuevo. Por lo $|\vec p+\Delta \vec p|=|\vec p|$. Conectar esta ecuación para $c$ en Mathematica da
$$c=\frac{8\pi mv}{4+\pi^2}.$$
Una fea expresión, sino una respuesta al menos. El hecho de que es proporcional a $\vec p$ hace que el ángulo de siempre la misma, como se verá en breve. Para determinar el ángulo entre dos vectores puede utilizar
$$\cos\theta=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}.$$
Conectar por $\vec p$ e $\vec p\,'=\vec p+\Delta\vec p$ finalmente da (usando Mathematica repito, no estoy loco)
$$\theta=\arccos\left(\frac{4-\pi^2}{4+\pi^2}\right)\approx 115.037^{\circ}$$
O acerca de este ángulo:
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Me gustaría subrayar una vez más que he hecho algunas suposiciones acerca de cómo la fuerza se distribuye durante la colisión, por lo que su respuesta podría ser diferente si usted hizo los diferentes supuestos. Usted tiene que hacer estas suposiciones ya que este problema es imposible definir con exactitud.
TLDR - bajo algunos supuestos puede calcular el ángulo en el que la partícula rebota. Mis cálculos dar $115^{\circ}$ ( $65^{\circ}$ con respecto a la tierra)
EDITAR - En los comentarios se sugirió que la fuerza de restauración para un ángulo particular es proporcional a $-\cos^2\phi$ en lugar de $-\cos\phi$. No estoy convencido por completo, pero en ese caso el cálculo viene a ser $\theta=\arccos(-3/5)\approx 2.21$ radianes o $53^{\circ}$ desde el suelo.
