¿Existen versiones topológicas de la idea de divisor?

Question

Intento extraer un caso particular, más ligero y más centrado al mismo tiempo, de mi reciente pregunta ¿Cuál de las dualidades de la física se acerca más en esencia a la dualidad Spanier-Whitehead (con una subpregunta)?

De vez en cuando me vuelve a fascinar una de las nociones más profundas de la geometría algebraica: los divisores.

En concreto, me gustaría entender mejor la interacción entre el análisis y la aritmética elemental de los números enteros que se produce allí.

A primera vista, la formación del grupo de divisores es un movimiento puramente "topológico": se toman combinaciones lineales formales de subvariedades de codimensión uno con coeficientes enteros. Los topólogos hacen tales cosas todo el tiempo, y con coeficientes en grupos abelianos arbitrarios.

Sin embargo, en cuanto se añade la noción de divisor principal y de equivalencia lineal, ocurren dos cosas: en primer lugar, los números enteros se distinguen absolutamente entre los posibles sistemas de coeficientes, ya que el coeficiente empieza a significar algo muy analítico y no topológico: orden de desaparición/infinito de una función a lo largo de la subvariedad. En segundo lugar, de nuevo desde el punto de vista puramente topológico, se hace evidente algún tipo de dualidad, ya que la implicación de las funciones en la variedad sugiere algo co homológica, a diferencia de la homología que se presume al considerar las subvariedades como ciclos.

Si un topólogo recibe un $n$ -de la colmena, entonces se puede hacer algo similar relacionando $(n-1)$ -ciclos y $1$ -ciclos. Pero el grupo de clases divisoras tiene un comportamiento aún más interesante en el caso no liso, y aquí no estoy seguro de con qué relacionaría esto un topólogo.

Mi pregunta entonces es si existe una versión puramente topológica de esta sutil mezcla de homología y cohomología. Tal vez alguna versión de dualidad tipo Spanier-Whitehead o algo así, pero el punto principal es que debe existir un único grupo que incorpore la homología y la cohomología simultáneamente para los no-manifolds, con un aspecto tan básico y fundamental como el grupo de la clase divisora, y que los coeficientes (en la versión generalizada, el espectro) elegidos se distingan entre todas las demás opciones posibles de coeficientes.

Volviendo la misma pregunta al revés - ¿hay analogía, en la geometría algebraica, de tomar coeficientes distintos de $\mathbb Z$ para los divisores? Conozco la noción de $\mathbb Q$ -divisor pero más generalmente me refiero, digamos, a los divisores con coeficientes en el campo de los coeficientes para las variedades definidas sobre ese campo, o, digamos, algo como $\ell$ -coeficientes de la adicción, o algo similar. ¿Tiene esto sentido en el contexto motivacional, por ejemplo? Además, desde el punto de vista topológico, debe haber versiones superiores de eso, relacionando la codimensión $k$ ciclos con ceros/polos de $(k-1)$ -formas o algunos artilugios relacionados (¿símbolos de residuos de normas? ¿campos locales de mayor dimensión? ¿o qué?)

Answer 1

Descargo de responsabilidad. No soy ningún experto en geometría algebraica. Por lo tanto, gran parte de lo que sigue estará demasiado simplificado o tal vez simplemente equivocado. Aun así, estáis invitados a mejorarlo.

EDITAR. Hay una papel de Totaro donde muestra que el mapa de clase de ciclo del grupo de Chow a los factores de cohomología singular como $$CH^*(X)\longrightarrow MU^*(X)\otimes_{MU^*}\mathbb Z\longrightarrow H^*(X,\mathbb Z)\;.$$ Aquí $MU^*$ denota cobordismo complejo, como se explica más adelante. El hecho de que Totaro no construya un mapa a través de $MU^*(X)$ parece indicar que, en general, la equivalencia de ciclos puede ser más gruesa que el cobordismo complejo. No he comprobado las implicaciones para los divisores, es decir, para $CH^1(X)$ .

Dejemos que $L\to V$ sea un haz de líneas sobre una variedad compleja, sea $s$ sea una sección meromorfa de $L$ y que $D$ sea el divisor asociado. Para simplificar, suponemos que $s$ es una sección algebraica y que $s$ se encuentra con $0$ transversalmente, por lo que todos los ceros tienen multiplicidad uno. Entonces $D$ `es' la subvariedad $s^{-1}(0)$ . Si $V$ era suave, entonces $D$ es una subvariedad de codimensión compleja $1$ , que consideramos como un cobordismo $2$ -Ciclo. Su haz normal es un haz de líneas complejas.

Una equivalencia lineal entre dos divisores $D_0$ , $D_1$ está dada por una función meromorfa $f$ tal que $D_a=f^{-1}(a)$ para $a=0$ , $1$ . Considere el gráfico $\Gamma$ de $f$ en $V\times\mathbb P^1$ . Si todavía estamos sobre $\mathbb C$ y todo es suficientemente regular, para una curva suave real genérica $c\colon[0,1]\to\mathbb P^1$ de $0$ a $1$ en $\mathbb P^1$ (ahora con topología analítica), la intersección (transversal) $W$ de $\Gamma$ y $V\times\operatorname{im}(c)\cong V\times[0,1]$ es entonces un cobordismo entre $D_0\times\{0\}$ y $D_1\times\{1\}$ . El haz normal de $W$ en $V\times[0,1]$ lleva naturalmente la estructura de un haz de líneas complejo topológico, que se restringe a los haces normales de $D_0$ , $D_1$ en $V$ .

Para ver que obtenemos un mapa del grupo de clases divisoras al cobordismo complejo, recordamos los cociclos y las relaciones. A $k$ - cocycle en un colector $M$ es un submanifold $D\subset M\times\mathbb R^\ell$ de codimensión real $(k+\ell)$ junto con una estructura compleja en su haz normal. Si se proyecta hasta $M$ La imagen puede volverse singular. Se puede estabilizar en $\ell$ tomando $D\times\{c\}\subset M\times\mathbb R^{\ell+m}$ .

A cobordismo entre dos $K$ -ciclos, representados por submanifolds $D_0$ , $D_1\subset M\times\mathbb R^\ell$ es un submanifold $W\subset M\times\mathbb R^\ell\times[0,1]$ tal que $\partial W=D_0\times\{0\}\sqcup D_1\times\{1\}$ junto con una estructura compleja sobre el haz normal que se restringe a las estructuras complejas dadas de los haces normales de $D_0$ , $D_1\subset M\times\mathbb R^\ell$ .

Esto demuestra que los divisores suficientemente suaves dan lugar a cociclos, y la equivalencia lineal implica cobordismo. Parece que esta construcción se extiende a los grupos de Chow, y estoy seguro de que se describe en alguna parte con más cuidado. Sin embargo, no me queda del todo claro cómo tratar las subvariedades singulares.

Para llevar la analogía más allá, a cada haz de líneas algebraico se le asocia una clase de divisor $[D]$ . Esto puede considerarse como una primera clase de Chern universal, con valores en el anillo de Chow. Por el lado topológico, existe una primera clase de Chern con valores en el anillo de cobordismo complejo, y corresponde a $[D]$ bajo el mapa de arriba. En Quillen Esta clase es universal para las teorías de cohomología multiplicativa orientada a los complejos.

A la inversa, en geometría algebraica, un divisor define un haz de líneas. Si podemos elegir $\ell=0$ arriba, entonces la construcción Pontryagin-Thom identifica un complejo $2$ -ciclo en $M$ con una clase de homotopía de mapas $M\to\mathbb P^\infty$ y $\mathbb P^\infty$ es también el espacio de clasificación de los haces de líneas complejas (topológicas). Existe una construcción directa: el haz normal de $D$ viene con una estructura compleja. Tira hacia atrás a un barrio tubular $\pi\colon U\to D$ de $D$ entonces $\pi^*\nu\to U$ tiene una sección tautológica, que se puede utilizar para pegarla al haz trivial sobre $M\setminus D$ dando lugar a un haz de líneas complejas $L\to M$ . Sin embargo, esta construcción es inestable, es decir, no funciona para valores superiores de $\ell$ .