¿Es el "espaciotiempo" lo mismo que la 4ª dimensión matemática?

Question

¿Es el "espaciotiempo" lo mismo que la 4ª dimensión matemática?

A menudo decimos que el tiempo es la cuarta dimensión, pero me pregunto si significa que el tiempo es como el cuarto eje geométrico, o es algo diferente a un eje geométrico y algo que se utiliza para representarlo gráficamente aunque el tiempo no tenga ninguna característica geométrica.

Si difieren, ¿puede decirme en qué difiere para que un profano pueda entenderlo?

Answer 1

Sí, el tiempo puede ser tratado como un cuarto eje - esa idea fue desarrollada por un matemático alemán llamado Hermann Minkowski no mucho después de que Einstein publicara su teoría de la relatividad especial (Minkowski fue el supervisor de Einstein durante un tiempo).

La representación del tiempo como un cuarto eje -junto con los tres ejes espaciales habituales- es ahora un estándar en los libros de texto y los artículos científicos. He visto una cita de Einstein que da a entender que no le gustaba al principio, algo así como "Ahora que los matemáticos se han hecho con la relatividad, ya no estoy seguro de entenderla".

El instituto Minkowski tiene un sitio web donde puede leer las traducciones al inglés de sus artículos.

El espaciotiempo de Minkowski es en cierto modo análogo al espacio 3D. Por ejemplo, en el espacio 3D no hay un valor predefinido de "arriba", por lo que se puede elegir cualquier dirección para orientar el eje Z, por ejemplo. Del mismo modo, en el espacio de Minkowski no hay una dirección predefinida para el eje T: si dos observadores se mueven uno respecto al otro, sus respectivos ejes T divergen, y la divergencia aumenta con su velocidad relativa.

Puedes utilizar el concepto de espaciotiempo 4D para tener una idea de cosas como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud de forma análoga a las mediciones en el espacio ordinario. Por ejemplo, si utilizas la orientación normal "Z es igual a arriba", puedes decirme que un asta de bandera tiene 30 metros de altura y 30 de ancho. Si yo tengo mi eje Z inclinado en dirección contraria a la suya, diré que la altura del asta es inferior a 30 metros, pero que es mucho más ancha que un pie. Algo similar ocurre en el espaciotiempo, donde una dirección divergente para el eje T significaría que los observadores miden tiempos transcurridos diferentes.

Sin embargo, no se puede llevar la analogía demasiado lejos, ya que la geometría del espacio de Minkovski (es decir, la regla para calcular las distancias, etc.) no es la misma que la geometría del espacio euclidiano, que es a la que todos estábamos acostumbrados antes de conocer la relatividad. En ese sentido, no se puede pensar en el tiempo como algo que se pueda tratar exactamente igual que las tres dimensiones espaciales.

Dicho esto, resulta que matemáticamente se puede representar el espaciotiempo "plano" como euclidiano si se hace que la cuarta dimensión sea iT (es decir, T multiplicado por la raíz cuadrada de -1). Leí en alguna parte que representar el espaciotiempo de esa manera solía ser más popular.

Answer 2

Así que la respuesta directa es un gran NO, porque espacio-tiempo es algo físico que tiene un profundo significado matemático.

I) Idea intuitiva

Intuitivamente y a grandes rasgos, el espaciotiempo es el "lugar" de todo eventos o el conjunto de todos los eventos. Un evento es algo que "sucede en un tiempo $\tau$ y tiene lugar en algún lugar". Puedes entender el concepto principal con un simple ejemplo: Tienes un examen de física, el viernes a las 11:00, en el edificio del Departamento de Física, en la planta 5. Si vas al lugar correcto pero a la hora equivocada te perderás el examen. Para acceder al evento "test" tienes que estar en el lugar correcto a la hora correcta. Por lo tanto, tienes que lidiar necesariamente con cuatro números: uno para el tiempo y tres para el espacio.

Debido a la relatividad, el tiempo no es sólo un parámetro, sino una coordenada. En las transformaciones de Lorentz se transforma el tiempo como una coordenada habitual. Hay que considerar el tiempo como una coordenada más, como las coordenadas espaciales habituales.

II) Dimensión

La definición más elemental de dimensión proviene de una materia matemática llamada álgebra lineal, que es una de las "herramientas matemáticas" utilizadas para describir adecuadamente la relatividad general (RG) en términos matemáticos. En la RG, tratamos básicamente con espacios vectoriales de dimensión finita, por lo que el concepto de dimensión es el más elemental:

Una dimensión es el número de vectores base de un espacio vectorial determinado.

Así que una "4ª dimensión matemática" no es más que un espacio vectorial de 4 dimensiones.

III) El espacio-tiempo: Una breve explicación

Bueno, aquí es donde utilice matemáticas para describir la física. La física del espaciotiempo se introdujo en 1905 con El documento de Einstein . Pero espacio-tiempo nació en 1906 con El documento de Minkowski . Ahora, hay algunos hechos que utilizaremos para construir la idea adecuada del espaciotiempo:

1) En física podemos medir longitudes y tiempos y un objeto matemático que tiene esta propiedad de "medida" es la norma dada por un producto interior. En la mecánica newtoniana, la norma es la euclidiana:

$$ \|v\|^{2} := \langle v,v\rangle = \sum^{3}_{i=1}\sum^{3}_{j=1} \delta_{ij}v^{i}v^{j} \tag{1}$$

donde $\delta_{ij}$ es la matriz:

$$ \delta_{ij} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} $$

En cierto sentido, esta norma junto con un espacio vectorial da la estructura geométrica de la mecánica newtoniana porque podemos calcular longitudes, definir vectores, calcular velocidades y aceleraciones, etc. ....

2) Esta norma establece lo que llamamos "espacio euclidiano" o "geometría euclidiana". Obsérvese que si se define otra dimensión, "la 4ª dimensión", se acaba de construir un espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Ahora bien, el hecho físico es que la geometría del espaciotiempo no es euclidiana, porque utilizamos una norma particular llamada "norma de Minkowski" o "norma de Lorentz" en un espacio vectorial de 4 dimensiones. Debido a este hecho todo el "álgebra lineal convencional" debe ser adaptado a la Geometría lorenziana , dado por la norma:

$$ \|v\|^{2} := \langle v,v\rangle = \sum^{3}_{\mu=0}\sum^{3}_{\nu=0} \eta_{\mu\nu}v^{\mu}v^{\nu} \tag{2}$$

donde $\eta_{\mu\nu}$ es la matriz:

$$ \eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} $$

III) El espacio-tiempo: La imagen general

La matriz del producto interior $(2)$ (y en general) se llama componentes del tensor métrico $g$ . El tensor métrico es (a grandes rasgos) un mapa bilineal que produce un escalar particular llamado elemento de línea que es simplemente el valor de la norma de los vectores de los elementos de la línea diferencial, es decir

$$ ds^{2}\equiv g\Bigg(dx^{\mu}\frac{\partial \vec{r}}{\partial x^{\mu}},dx^{\nu}\frac{\partial \vec{r}}{\partial x^{\nu}}\Bigg) := \|d\vec{r}\|^{2} =: \langle d\vec{r},d\vec{r}\rangle = \sum^{3}_{\mu=0}\sum^{3}_{\nu=0} g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} \tag{3}$$

Ahora bien, en general los tensores métricos no son matrices fáciles como $\delta_{ij}$ y $\eta_{\mu\nu}$ . De hecho, el tensor métrico puede convertirse en un campo tensorial que varía a través del espacio (y entonces la geometría varía puntualmente).

Para describir este comportamiento general de "un campo tensorial que varía a través del espacio (y entonces la geometría varía puntualmente)" necesitamos el marco matemático de los colectores (que está fuera del alcance de esta respuesta).

$$ g_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} g_{00}(x^{\mu})&g_{01}(x^{\mu})&g_{02}(x^{\mu})&g_{03}(x^{\mu})\\ g_{10}(x^{\mu})&g_{11}(x^{\mu})&g_{12}(x^{\mu})&g_{13}(x^{\mu})\\ g_{20}(x^{\mu})&g_{21}(x^{\mu})&g_{22}(x^{\mu})&g_{23}(x^{\mu})\\ g_{30}(x^{\mu})&g_{31}(x^{\mu})&g_{32}(x^{\mu})&g_{33}(x^{\mu})\\ \end{bmatrix} $$

Con este marco de colectores, podemos dar una descripción suficientemente general del espaciotiempo:

Un espacio-tiempo es una variedad de 4 dimensiones $\mathcal{M}$ con una métrica pseudo-riemanniana $g_{\mu \nu}$ : $$ (\mathcal{M},g_{\mu \nu}) $$

IV) El espacio-tiempo: Fusión de la idea intuitiva con las matemáticas

Así, el espacio-tiempo es el escenario de la relatividad especial y de la relatividad general. Te dice qué acontecimientos están en tu futuro, en tu pasado y a los que no puedes acceder en un tiempo propio suficientemente pequeño (el tiempo del reloj en tu mano, el tiempo del observador en reposo en su propio sistema de referencia, en general una tétrada). El espaciotiempo es también una entidad geométrica de 4 dimensiones que te dice que por la firma de Lorentz necesitas dar direcciones espaciales y temporales y, por supuesto, la geometría ya no es euclidiana.

Answer 3

Esencialmente, la dimensión de un espacio es el número de números que se necesitan para especificar un punto en él.

• La superficie de la Tierra es bidimensional, porque hay que especificar la longitud y la latitud.
• El conjunto de valores posibles del campo electromagnético es de seis dimensiones, porque hay que especificar $E_x$ , $E_y$ , $E_z$ , $B_x$ , $B_y$ y $B_z$ .
• El conjunto de posibles $1000 \times 1000$ Las imágenes RGB son $3000000$ dimensional, porque hay que especificar los valores de color R, G y B para cada $1000000$ píxeles.

La cuestión es que, matemáticamente, la "dimensión" no tiene por qué tener nada que ver con el espacio o el espaciotiempo. Preguntar si "la cuarta dimensión es el tiempo" es como preguntar si "la derivada es la fuerza". No, la derivada matemática es sólo eso, matemática. Las afirmaciones sólo tienen sentido si eres más específico: la tiempo derivado de impulso es la fuerza, y la cuarta dimensión del espacio-tiempo es el tiempo.

Dicho así, también está claro que el "espaciotiempo" como concepto no tiene nada que ver con la relatividad. Se necesitan cuatro números para especificar una posición y un tiempo en la relatividad, pero también era así en la época de Newton. La única diferencia es que en la relatividad, el espaciotiempo también puede recibir una bonita estructura matemática en su conjunto, como una variedad lorentziana, y por eso hablamos más de ella. Pero las estructuras de este tipo tampoco son especiales de la relatividad, ya que el espaciotiempo newtoniano puede recibir una Geometría de Newton-Cartan .

Answer 4

Sí, es ( tiempo no espacio-tiempo ) es una dimensión matemática. Para describir un acontecimiento, se necesitan tres números para definir su posición, y un cuarto número para describir el momento en el que se produce. Sin embargo, la dimensión temporal funciona de forma algo diferente a la espacial cuando tenemos que hablar de "distancias" entre sucesos. Estamos acostumbrados a describir las distancias entre dos puntos del espacio (denotadas por los subíndices 1 y 2) como $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ . En el espacio-tiempo, la componente temporal está presente en esa suma, excepto con un signo menos (y un factor correspondiente a la velocidad de la luz, que solemos fijar en 1): $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 - (t_2 - t_1)^2$ .

Answer 5

El espacio-tiempo tiene 4 dimensiones: 3 espaciales y 1 temporal. La dimensión temporal (tiempo) se trata de forma ligeramente diferente a las dimensiones espaciales. Una 4ª dimensión espacial es algo más, que puede modelarse fácilmente de forma matemática pero que no se ha demostrado que sea relevante para describir la realidad en la que vivimos.