¿Es$\mathbb{R}\cong\text{Cont}(X,Y)$ para algunos espacios no triviales$X,Y$?

Question

Para espacios topológicos$X,Y$ deje que$\text{Cont}(X,Y)$ sea la colección de funciones continuas$f:X\to Y.$ Dotamos$\text{Cont}(X,Y)$ con la topología heredada de la topología del producto en$Y^X.$

¿Hay espacios$X,Y$ para que$X$ tenga más de un punto y$Y\not\cong\mathbb{R}$ para que$\mathbb{R}\cong\text{Cont}(X,Y)$?

Answer 1

Debo admitir que he dudado en responder a esta pregunta, pero aquí está.

La respuesta es "no". Suponga que existen espacios topológicos $X$ e $Y$ tal que $C(X,Y)\simeq \mathbb{R}$ e $Y\not\simeq\mathbb{R}$. La identificación de $C(X,Y)$ con $\mathbb{R}$ e $Y$ con la constante de funciones en $Y^X$ consideramos $Y$ cerrado subsapce de $\mathbb{R}$. Teniendo en cuenta la surjection $\mathbb{R} \to C(X,Y)\to C(\{x\},Y) \to Y$, podemos ver que $Y$ está conectado. Por lo tanto $Y\subset\mathbb{R}$ es un cerrado subconjunto convexo. Como $Y\not\simeq \mathbb{R}$ debe existir un punto extremo $y\in Y$. Tenga en cuenta que $C(X,Y)$ es un subconjunto convexo de $C(X,\mathbb{R})$ y la función constante $y$ es un punto extremo de la misma. De ello se desprende que $C(X,Y)-\{y\}$ también es convexa, por lo tanto contráctiles. Pero $C(X,Y)-\{y\}$ es homeomórficos a $\mathbb{R}$ menos de un punto. Esta es una contradicción.

Answer 2

Tras la respuesta de Uri Bader, podemos demostrar que $Y$ es retirar de la línea real, por lo que puede ser identificado con un cerrado convexo subconjunto de $\mathbb R$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $0,1\in Y$ y, por tanto,$[0,1]\subset Y$. De ello se sigue que la función de $C(X,Y)$ es un subconjunto convexo de $Y^X\subset \mathbb R^X$ e $C(X,[0,1])\subset C(X,Y)$. La suposición $Y\not\cong\mathbb R\cong C(X,Y)$ implica que el $C(X,Y)$ contiene un no-función constante $f$. Considerar la constante de funciones $\mathbf 0:X\to\{0\}\subset Y$ e $\mathbf 1:X\to\{1\}\subset Y$ y observar que el conjunto de $T=\{\mathbf 0,\mathbf 1,f\}\subset C(X,Y)\subset Y^X\subset\mathbb R^X$ es affinely independiente y su casco convexo $conv(T)\subset C(X,Y)$ es homeomórficos a la 2-dimensional de symplex, que no puede ser contenida en el real de la línea de $\mathbb R\cong C(X,Y)$. Esta contradicción completa la prueba.

La respuesta negativa se puede deducir de la siguiente teorema. Recordemos que un espacio topológico $X$ es funcionalmente Hausdorff si por cualquier distintos puntos de $x,y\in X$ existe una función continua $f:X\to\mathbb R$ tal que $f(x)\ne f(y)$.

Teorema. Si para los no-vacío espacios topológicos $X,Y$ la función de espacio de $C(X,Y)$ es funcionalmente Hausdorff y trayectoria-conectado, entonces cualquiera de las $C(X,Y)$ es homeomórficos a $Y^n$ para algunos $n\in\mathbb N$ o $C(X,Y)$ contiene un topológico copia del cubo de Hilbert.

Prueba. El espacio de $Y\cong C(\{x\},Y)$ es funcionalmente Hausdorff y trayectoria-conectado, siendo un retractarse de la funcionalmente Hausdorff trayectoria-conectado espacio de $C(X,Y)$. Si $Y$ es un singleton, a continuación, $C(X,Y)\cong Y^1$ es un singleton, demasiado. Así, asumimos que $Y$ contiene más de un punto. En este caso, $Y$ contiene un subespacio $I$, homeomórficos para el intervalo cerrado $[0,1]$.

Considere la posibilidad de la canónica mapa $\delta:X\to Y^{C(X,Y)}$, $\delta:x\mapsto (f(x))_{f\in C(X,Y)}$. Si la imagen $\delta(X)$ es finito de cardinalidad $n$,, a continuación, $C(X,Y)$ es homeomórficos a $Y^n$ (ya que cada función $f\in C(X,Y)$ es constante en cada conjunto $\delta^{-1}(y)$, $y\in \delta(X)$).

Así, suponemos que el conjunto de $\delta(X)$ es infinito. Teniendo en cuenta que el espacio de $Y^{C(X,Y)}$ es funcionalmente Hausdorff, podemos construir un mapa continuo $g:Y^{C(x,Y)}\to I$ que la imagen $Z=g(\delta(X))$ es infinito. El surjective mapa continuo $p:=g\circ\delta:X\to Z$ induce un continuo inyectiva mapa $p^*:C(Z,I)\to C(X,I)$, $p^*:f\mapsto f\circ p$. Es fácil ver que la función de espacio de $C(Z,I)\subset I^Z$ contiene un topológico de copia de $Q$ de el cubo de Hilbert $I^\omega$. A continuación, $p^*(Q)$ es topológico, copia del cubo de Hilbert en $C(X,I)\subset C(X,Y)$.