Deje $f(z)$ ser toda la función. Considerar las funciones $e^{if(z)}$$e^{−if(z)}$, y aplicando la Máxima del Módulo de Teorema, muestran que si $f(z)$ es real cuando se $|z| = 1$, $f(z)$ debe ser una función constante.
(Tomamos $f(z)=u(z)+iv(z)$)
Estoy confundido como hasta ahora he a $|g(z)|=|e^{if(z)}|=|e^{-v(z)}|$ y, a continuación, desde la $f(z)$ es real, $f(z)=u(z)$$v(z)=0$, por lo que supuse que iba a seguir ese $|g(z)|=|e^{v(z)}|=1$.
Del mismo modo, $|g(z)|=|e^{-if(z)}|=|e^{v(z)}|=1$.
El uso de Liouville supuse que se podría decir que tanto $g(z)$ $h(z)$ están delimitadas toda funciones, que son constantes y por lo que se deduce que el $v(z)$ es constante, lo que significa que tanto sus derivadas parciales son iguales a 0 y, debido a Cauchy Riemann, tanto de las derivadas parciales de $u(z)$ son iguales a cero. No tendría, entonces, que siga $f(z)$ es constante.
No sé cómo ir sobre la cuestión con la Máxima Módulo Teorema, también me siento con vistas a la importancia de la $|z|=1$ tal vez?
Cualquier ayuda sería muy apreciada!!
