¿Cuáles son los grupos homotópicos superiores de un sufacio K3?

Question

Todas las superficies K3 tienen el mismo tipo de homotopía. ¿Cuáles son sus grupos de homotopía superiores?

Sé que $\pi_1$ es trivial, y $\pi_2$ es $\mathbb{Z}^{22}$ .

Aunque la respuesta no se conozca en todos los grados, aceptaré una respuesta si alguien puede darme $\pi_3$ .

Según esta pregunta , puede decirme de forma equivalente los grupos de homotopía superiores de una superficie de Enriques.

Answer 1

En el documento http://arxiv.org/abs/1303.3328 de Samik Basu y Somnath Basu, se afirma (Teorema A) que los grupos de homotopía de una manifold cerrada simplemente conectada $M$ están determinados por el segundo número de Betti $k$ . En particular, si $k \geq 1$ y $j \geq 3$ , $\pi_j (M) = \pi_j (\#^{k-1} S^2 \times S^3)$ .

Por ejemplo, utilizando lo que sabemos sobre grupos de homotopía de esferas, demuestran (Corolario 4.10) que si el segundo número de Betti de $M$ es $k+1$ (perdón por el cambio de $k$ a $k+1$ (mantengo las anotaciones del papel) entonces

$\pi_3(M) = \mathbb{Z}^{k(k+3)/2}$

$\pi_4(M)=\mathbb{Z}^{(k-1)(k+1)(k+3)/3} \oplus (\mathbb{Z}_2)^{2k}$

Para una superficie K3 $M$ , $k+1=22$ así que

$\pi_3(M) = \mathbb{Z}^{252}$

$\pi_4(M) =\mathbb{Z}^{3520} \oplus (\mathbb{Z}_2)^{42}$

Answer 2

A continuación se detalla cómo calcular el rango de $\pi_3$ . Una superficie K3 $X$ es, además de simplemente conectada, una variedad compacta de Kähler, y se sabe que tales espacios son formal en el sentido de la teoría de homotopía racional; esto significa que su homotopía racional puede calcularse encontrando un Modelo mínimo de Sullivan de sus anillos de cohomología racional, y en particular sólo depende del anillo de cohomología racional. (El artículo de Terzić enlazado en la respuesta de Reimundo utiliza en cambio que un compacto orientado simplemente conectado $4$ -es formal).

He aquí, brevemente, cómo funciona este cálculo, al menos si no estoy malinterpretando algo. El objetivo es construir un espacio vectorial racional graduado $V^{\bullet} = \bigoplus_{k \ge 2} V^k$ y un diferencial $d$ en el álgebra exterior $\Lambda^{\bullet}(V)$ tal que

• la cohomología de $(\Lambda^{\bullet}(V), d)$ está de acuerdo con $H^{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ ,
• $dV$ está contenida en $\Lambda^{\ge 2}(V)$ .

La maquinaria de la teoría racional de homotopías, junto con el hecho de que $X$ es formal y tiene homología de tipo finito, entonces garantiza que tenemos una identificación natural

$$\pi_{\bullet}(X) \otimes \mathbb{Q} \cong \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(V^{\bullet}, \mathbb{Q}).$$

En particular, $\dim \pi_{\bullet}(X) \otimes \mathbb{Q} = \dim V^{\bullet}$ . Así que para calcular $\dim \pi_3(X) \otimes \mathbb{Q}$ basta con calcular cuántos elementos necesitamos en $V^3$ .

Ya sabemos que necesitamos $\dim V^2 = b_2$ , donde $b_2 = \dim H^2(X, \mathbb{Q}) = 22$ . El producto de la copa $H^2(X, \mathbb{Q}) \times H^2(X, \mathbb{Q}) \to H^4(X, \mathbb{Q})$ tiene la forma

$$\alpha \cup \beta = Q(\alpha, \beta) \gamma$$

donde $Q(\alpha, \beta)$ es la forma de intersección y $\gamma$ es un generador de $H^4(X, \mathbb{Q})$ . La única manera de imponer estas relaciones en la cohomología de $(\Lambda^{\bullet}(V), d)$ es introducir elementos en $V^3$ cuyos diferenciales impondrán esas relaciones. Explícitamente, dejemos que $e_1, e_2, \dots e_{22}$ sea una base ortogonal para $H^2(X, \mathbb{Q})$ con respecto a la forma de intersección, de modo que $Q(e_i, e_j)$ es algún múltiplo no nulo de $\delta_{ij}$ . Para $i \neq j$ necesitamos introducir $\frac{b_2(b_2 - 1)}{2} = 231$ nuevos elementos de $V^3$ Llámalos $f_{ij}, i \neq j$ para que podamos imponer las relaciones

$$d f_{ij} = e_i \cup e_j.$$

Para $i = j$ necesitamos introducir $b_2 - 1 = 21$ nuevos elementos de $V^3$ Llámalos $f_i, 1 \le i \le 21$ para que podamos imponer las relaciones

$$d f_i = \frac{e_i \cup e_i}{Q(e_i, e_i)} - \frac{e_{i+1} \cup e_{i+1}}{Q(e_{i+1}, e_{i+1})}.$$

(No podemos introducir el generador de $H^4(X, \mathbb{Q})$ en $V^4$ porque no podemos imponer una relación que sea lineal en este generador, así que en su lugar imponemos la relación de que todos los $e_i$ cuadrado, hasta una normalización, a lo mismo).

En total, obtenemos

$$\dim V^3 = {b_2 \choose 2} + (b_2 - 1) = {b_2 + 1 \choose 2} - 1 = 252$$

como se esperaba de las otras respuestas.

Answer 3

Mira el ejemplo 6 de [1] que calcula $rk \,\pi_2 = 22$ , $rk\: \pi_3= 252$ y $rk \: \pi_4 = 3520$ simplemente utilizando el hecho de que un cuático en $\mathbb{P}^3$ es una superficie K3 y que para tales cuarticos es fácil calcular el segundo número de betti $b_2$ . El teorema principal del artículo de Terzic trata sobre el cálculo de los rangos de $\pi_{2,3,4}$ en términos de $b_2$ .

[1]Terzić, Svjetlana. On rational homotopy of four-manifolds. Contemporary geometry and related topics, 375-388, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2004.