Fibras ópticas según Joseph O'Rourke

Question

Dejemos que $\gamma\colon[a,b]\to \mathbb R^3$ sea una curva suave con curvatura $< 1$ . Consideremos un tubo, formado por una familia de parámetros de círculos unitarios con centro en $\gamma(t)$ en el plano ortogonal a $\dot\gamma(t)$ .

Un rayo de luz que entra en el tubo por un extremo y rebota con perfecta reflexión en las paredes interiores saldrá por el otro extremo con probabilidad 1; véase esta pregunta . Llamemos a un tubo con esta propiedad un fibra óptica . (Ten en cuenta que quiero que la fibra óptica sea bidireccional).

Se puede construir un fibra óptica a lo largo de las mismas líneas, utilizando cualquier curva plana simple y suave $(x(\theta),y(\theta))$ en lugar del círculo. Para ello hay que elegir un marco normal paralelo $e_1,e_2$ a lo largo de $\gamma$ (es decir, que $\dot e_i(t)\parallel\dot\gamma(t)$ para todos $t$ ) y considerar el tubo $[a,b]\times\mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb R^3$ definido como $$(t,\theta)\mapsto \gamma(t)+x(\theta){\cdot}e_1(t)+y(\theta){\cdot}e_2(t)$$ (La condición de que el marco sea paralelo implica que cualquier plano normal a $\gamma$ corta el tubo en ángulo recto). De esta manera obtenemos un fibra óptica con extremos congruentes.

Pregunta 1. ¿Existen construcciones de fibras ópticas diferente de la descrita anteriormente?

En otras palabras, ¿es siempre posible cortar una fibra óptica por planos que cortan las paredes en ángulo recto?

En particular,

Pregunta 2. ¿Existe una fibra óptica con extremos no congruentes?

Comentarios

• Creo que la respuesta es "NO", pero no tengo ni idea de "POR QUÉ".
• Del teorema de Liouville se desprende que los extremos deben tener la misma área.
• Me di cuenta de que si las paredes sólo son lisas a trozos, entonces se puede hacer una fibra óptica con un par de figuras equidistantes en los extremos. (La construcción es la misma, pero uno divide el tubo en varios en el camino y luego los vuelve a unir).
• En la dimensión 2, una línea que pasa por los puntos focales corta de las elipses confocales una fibra óptica. (Lo aprendí de Arseniy Akopyan.) No conozco ejemplos suaves en 3D de ese tipo. También se podría imponer una condición adicional a las fibras ópticas, según la cual un rayo aleatorio que comienza en su interior lo abandona con probabilidad 1. El ejemplo de elipses confocal descrito no tiene esta propiedad].
• Un extracto de la respuesta de Marcos Cossarini: Obsérvese que si se puede cortar una fibra óptica en dos trozos de forma que casi todos los rayos pasen por el corte como máximo una vez, entonces el corte tiene que ser plano y ortogonal a la frontera. Después de este corte, se obtienen dos fibras ópticas. Aplicando un poco de geometría diferencial el problema se puede reformular de forma equivalente: ¿es cierto que cualquier fibra óptica admite tal corte .

Answer 1

No sé por qué esta pregunta apareció ayer en mi pantalla principal de mathoverflow, ya que el último comentario parece ser del 1 de marzo. Yo también creo que la conjetura es cierta, pero mi argumento tiene muchos agujeros. Esto es lo que pensé.

Dejemos que $\Omega$ sea una fibra óptica que es la región interior de un compacto conectado $\mathcal C^1$ superficie en $\mathbb R^3$ que es la unión de una superficie reflectante $R$ , una superficie de partida $F_0$ y una superficie final $F_1$ . Asumo (0) todo fibras ópticas son así.

Supongamos (1) que se puede foliar $\Omega$ por una familia uniparamétrica de superficies planas $(F_s)_{s\in[0,1]}$ de tal manera que cada rayo que comienza en $F_0$ con un inicial positivo $\dot s$ mantiene una actitud positiva $\dot s$ hasta llegar a $F_1$ . Llamemos a esto un fibra óptica foliada . Supongamos (2) que todos los $F_s$ son superficies planas y lo llamamos planamente foliado y llamemos a la fibra Petrunina si cada $F_s$ es ortogonal a la superficie reflectante $R$ a lo largo de su frontera.

Afirmación (3): Toda fibra óptica planamente foliada es petruniana.

Permítanme decir por qué lo creo.

Dejemos que $m$ sea el último valor tal que la fibra sea petruniana para $s\in[0,m]$ . Encontrando una foliación de curvas que sea ortogonal a $F$ podemos identificar los puntos de $F_s$ a diferentes valores de $s$ y pensar en $F_s$ como una familia uniparamétrica de regiones en $\mathbb R^2$ .

Conjetura (4): $F_s$ tiene un área constante.

No sé por qué debería ser así, pero parece que Anton lo tiene claro (si he entendido bien su comentario sobre el teorema de Liouville), y me gustaría saber por qué. ¿Es evidente después de estudiar los problemas del billar? Voy a suponer que es cierto.

Puede $F_s$ ser no constante? Es constante hasta que $s=m$ y luego empieza a cambiar. Como el área se conserva, debe avanzar en algunos puntos de su frontera y retroceder en otros. Encuentra un punto en el que acaba de empezar a retroceder. Representa un punto $P\in R$ . Dispara un rayo desde $P$ en $\Omega$ con velocidad inicial ortogonal a $R$ . Por la forma en que elegimos $P$ tendrá un valor inicial negativo $\dot s$ y ajustando nuestra elección de $P$ Me gustaría que (5) pudiera asegurar que llega a $F_m$ . Después, la fibra óptica es petruniana, y el rayo se dirige a $F_0$ . Invirtiendo este rayo, obtenemos un rayo que comienza en $F_0$ , alcanza $P$ , y rebota a $F_0$ Así que $\Omega$ no era una fibra óptica, después de todo.

Los agujeros en el argumento sugieren más preguntas:

Pregunta 0: ¿Todas las fibras ópticas foliadas son planamente foliadas?

Si $\Omega$ está foliado, el espacio de fase es la unión disjunta de $T\Omega_+=\{\dot s>0\}$ , $T\Omega_-\{\dot s<0\}$ y su frontera común de medida cero $T\Omega_0=\{\dot s=0\}$ . ¿Cada fase en $T\Omega_+$ corresponden a un rayo que viene de $F_0$ y va a $F_1$ ? Si esto es cierto (y también la afirmación análoga para $T\Omega_-$ ), entonces es fácil ver (disparando rayos entre puntos del mismo $F_s$ ) que cada $F_s$ debe ser localmente convexo, y por tanto plano.

Pregunta 1: ¿Todas las fibras ópticas están foliadas?

Podemos expresar el espacio de fase como una unión del conjunto $T\Omega_+$ de fases correspondientes a los rayos que van de $F_0$ a $F_1$ el conjunto $T\Omega_-$ definidos de forma análoga (de modo que $\dot x\in T\Omega_+$ si $-\dot x\in T\Omega_-$ ), y el conjunto $T\Omega_0$ de fases correspondientes a los rayos que permanecen dentro de $\Omega$ eternamente (en ambos sentidos del tiempo). Observe cómo para cada $x\in\Omega$ la clasificación de las particiones de las fases $T_x\Omega$ en dos conos opuestos $T_x\Omega_+$ , $T_x\Omega_-$ y un cono auto-opuesto $T_x\Omega$ .

En $T\Omega_0$ ¿tiene medida cero? ¿Son los conos convexos? No tengo ni idea.

¿Podemos ordenar totalmente las fases de $T\Omega_+$ para que luego sea posible asignarles un parámetro escalar, que permita aplicar argumentos de supremacía para demostrar cosas? Al menos podemos ordenarlo parcialmente. ¿Funcionan los argumentos supremos en los posets?

Answer 2

Supongamos que el marco normal a lo largo de $\gamma$ giros. ¿Estás seguro de que sigue siendo una fibra óptica? Me estoy imaginando, por ejemplo, que se retuerce suavemente una elipse de excentricidad no nula.
          

Answer 3

Esto es una sugerencia más que una respuesta. He decidido pensar en voz alta con la esperanza de que alguien más pueda tomar el pensamiento y correr con él.

Consideremos la imagen desde el punto de vista del rayo, y consideremos una definición (posiblemente no más restrictiva) de una "buena fibra óptica", que no daré sino que sólo sugeriré aquí. Una buena fibra óptica se asegura de que no sólo puede pasar la luz en ambos sentidos (es decir, es bidireccional) sino que no se ralentiza mucho. Originalmente pensé en la versión bidimensional de esto como "Para cada punto p, asegúrate de que la luz reflejada de p va más abajo en el tubo en la misma dirección", pero ahora estoy pensando "para cada parche abierto en el tubo cuyo reflejo a través de p no se cruza consigo mismo, asegúrate de que ese reflejo no cambia mucho". Así que la idea es que la luz que viene de una parte de la pared del tubo (P) golpea a p, y se refleja para golpear a otra parte del tubo (Q), que P y Q son disjuntos y satisfacen algunas condiciones si son suficientemente pequeños, digamos que si P tiene área como máximo epsilon entonces se garantiza que Q tiene área no muy diferente de epsilon veces la escala lineal apropiada.

Con una definición adecuada de "buena fibra óptica", se podría demostrar que la luz viaja rápidamente a través del tubo siempre que el rayo de entrada esté a menos de, digamos, 89,9 grados del eje perpendicular del tubo. Lo siguiente sería demostrar que cualquier fibra óptica puede ser epsilon-aproximada por fibras ópticas buenas (o no), y luego si nuestra suerte se mantiene, demostrar que la respuesta a ambas preguntas sería NO para las fibras ópticas buenas y que las respuestas se mantendrían en el límite de las aproximaciones.

Deténganme si han escuchado esto antes.

Gerhard "Oh Wait, I'm Done Already" Paseman, 2011.10.13