¿Cuáles son ejemplos de (colecciones de) papeles que "cierran" un campo?

Question

Hay a veces hablar de los campos de las matemáticas, siendo "cerrado", "terminada", o "completado" por un papel o una colección de documentos. Parece como si esto puede suceder de dos maneras:

1. Un total de caracterización, donde de alguna manera "toda la información" sobre un campo que ha sido descubierto.
2. Un resultado negativo, de representación en el ámbito de alguna manera irrelevante.

Un posible ejemplo para 1 podría ser la clasificación de los finitos simples grupos. Ejemplos para 2 podría ser el teorema de Goedel efectivamente detener Hilbert del programa, o los resultados que muestran por ejemplo, en ciertas gran cardenal axiomas incompatible socavar el trabajo que se supone que.

¿Cuáles son algunos otros ejemplos de los resultados del "cierre" de un campo?

Hay ejemplos de un número reducido de trabajos "completar" un campo en el sentido de 1 de arriba?

(Disculpas por asustar a muchas comillas!)

Answer 1

En este artículo clásico, Steinitz cerró no sólo uno, sino todos los campos.

Answer 2

Déjenme comenzar esta diciendo que esto es sólo mi propia cuenta, basado en varias conversaciones que he tenido a lo largo de los años con muchos matemáticos, de el ejemplo siguiente.

En 1976, William Thurston demostrado que una cerrada suave colector tiene un codimension una foliación si y sólo si tiene cero característica de Euler. Por otra parte, cada codimension una distribución en la tangente paquete es homotópica a una integrable uno.

Si bien la historia es siempre más complicado, al menos en el folclore nivel, este resultado le ha causado un éxodo masivo de personas que trabajan en la teoría de foliaciones. Usted puede leer acerca de Thurston punto de vista sobre este tema, que refleja la historia de ser más complicado, en su nota de la Prueba y el Progreso en Matemáticas.

Por supuesto, es absurdo a la conclusión de que esta "cerrada" la teoría de foliaciones. Más bien, lo que yo he entendido es que demostró un teorema que fue en gran parte espera que sea falso, y esto hizo que una naciente industria de la construcción de una obstrucción de la teoría de la co-de dimensión uno foliaciones en gran medida irrelevante. No obstante, me han dicho muchas personas que saben mucho más acerca de esta historia que lo que yo hago que los estudiantes de posgrado se fomenta de manera activa para evitar la teoría de foliaciones alrededor de este tiempo; la impresión general siendo que Thurston fue la limpieza de la materia.

Answer 3

Índice teorema de Atiyah y Cantante cerrado un importante campo de investigación en la década de 1960. Yo sabía que la gente que estaba trabajando en este campo, y tuve que cambiar el campo de su investigación completamente.

Un ejemplo más moderno es Louis de Branges prueba de la Conjetura de Bieberbach. Hubo un gran campo de investigación, diría que es una central de campo en la analítica de la teoría de las funciones, que podrían ser llamados "coeficientes de las estimaciones". Para estar seguro, es que todavía existe, pero hoy en día es considerada marginal. Contrariamente a todas las expectativas, el original del comprobante de Branges del teorema de no dar lugar a un importante desarrollo posterior (hasta el momento).

Otro de los comúnmente mencionados ejemplo es el de Hilbert de los resultados de la la teoría de invariantes. Se cerró el campo, en algún sentido, aunque no para siempre.

Darij Grinberg la descripción de esta situación como "poner a dormir" en su comentario, aporta otro ejemplo similar a mi mente: en 1919/20 Pierre Fatou esencialmente "poner a dormir" el maravilloso campo de holomorphic dinámica. Él hizo todo lo posible con las herramientas que existían en ese momento. El campo era esencialmente dormir hasta la década de 1980, cuando nueva, radicalmente nuevas herramientas se emplearon algunos de larga data de los problemas fueron resueltos. (No es uno aislado excepción en esta imagen: Siegel del teorema de 1942, en la que también se requiere de una nueva herramienta, que se llama teoría KAM hoy en día).

También sucede a veces que un nuevo avance realmente no cerrar el campo, pero muchas personas tienen que cambiar a otro campo, porque no están preparados para entender el avance. No quiero dar ejemplos modernos de tan triste situación, pero de acuerdo a Lev Pontryagin propios publicado recuerdos, se pasó de topología para el análisis aplicado en la década de 1950 debido a que el nuevo lenguaje abstracto introducido por el francés revolucionó la zona, y no podía estar en línea con el desarrollo moderno. (Pontryagin fue uno de los más destacados topologists de su tiempo, y él tenía 42 años de edad en 1950.)

Otro fenómeno relacionado con la apariencia de un definitivo exposición de un tema que condena a gran parte de los trabajos previos para el olvido. Un ejemplo es el libro de polinomios Ortogonales por Gabor Szego. No cerrar el tema, lejos de ello, pero la mayoría de la gente dejó de leer y citar trabajos anteriores. (Lo mismo que Euclides y Ptolomeo hizo a sus predecesores).

Answer 4

Esto no es, tal vez, de un área muy grande, ni un "fin", pero fue un interesante desarrollo en la primera semigroup teoría que creo que lleva a escribir.

Algunos antecedentes, en primer lugar. Un semigroup $S$ es un conjunto con una operación binaria asociativa $\cdot : S \times S \to S$. Un semigroup es la izquierda cancellative si para todas las $a, b, c \in S$, tenemos $ab = ac$ implica $b = c$, y a la derecha cancellative si $ba = ca$ implica $b = c$. Un semigroup es cancellative si es a la izquierda y a la derecha cancellative.

Todos los grupos son cancellative semigroups, pero hay cancellative semigroups que no son grupos (gratis semigroups, por ejemplo). Por lo tanto, se cancellative es una condición necesaria para que un semigroup para incrustar en algún grupo. Una pregunta natural es la siguiente: ¿cada cancellative semigroup incrustar en un grupo?

Anton Sushkevich inició el estudio de cancellative semigroups en 1928. Él estaba muy interesado en el problema de la incrustación de cancellative semigroups en grupos, y predijo que este problema se habría convertido en una parte central de semigroup teoría y producen una gran cantidad de nuevos resultados en el área. Este problema llevó a varias publicaciones por él y varios otros en los próximos años, el desarrollo de la teoría de la incrustación de cancellative semigroups en grupos.

En [A. Sushkevich, "Про поширення півгрупи до цілої группы", Zapiski Khark. Mat. 4:12 (1935)], Sushkevich reclamado una completa respuesta afirmativa-de ser cancellative, afirmó, es suficiente para que un semigroup para incrustar en un grupo!

Pero, por desgracia, en 1937, Malcev demostrado, por ejemplo, que existe una cancellative semigroup que no incorpora dentro de un grupo! De hecho, incluso se ofrece una contables lista de condiciones necesarias y suficientes para un cancellative semigroup para incrustar en un grupo, y demostró que no es finito sublista de esta lista es suficiente [A. Malcev, "En la Inmersión de una expresión Algebraica Anillo en un Campo," las Matemáticas Annalen, Bd. 113, 5 Peso (1937)].

Y, sin embargo, Sushkevich publicó un libro en 1937, "La Teoría de la Generalizada Grupos" (de la que muy pocas copias físicas aún permanecen debido a que la mayoría de las copias se almacenan en Kharkov, Ucrania, durante la 2 ª guerra mundial, una ciudad que fue destruida en numerosas batallas durante la guerra), con la pretensión de corregir los errores en su original de la prueba. La prueba es difícil de leer, y mientras Sushkevich reconoce Malcev ejemplo, que más o menos dice solamente "y, entonces, una condición suficiente para que un semigroup para incrustar en un grupo es que es cancellative y que no es Malcev del ejemplo.

Malcev resultó estar en lo cierto, y Sushkevich la prueba estaba mal (la operación para el "grupo" dice incrustar el semigroup no es asociativa!). De hecho, Sushkevich pasó los próximos años tratando de eliminar cualquier rastro de su publicación original, hasta el punto donde me sorprendería si cualquier copia de este documento puede ser encontrado. Así que un solo contraejemplo fue suficiente, si no "cerrar", al menos "desinflar" el bombo alrededor de cancellative semigroups.

Por supuesto, como con cualquier resultado, que en realidad sólo sirve para impulsar la introducción de nuevas mejoras y nuevas listas de suficiente y condiciones necesarias, pero su predijo importancia central para semigroup teoría se quedó corto, y semigroup teóricos en su mayoría se trasladó a nuevos pastos.

Answer 5

La desigualdad de Bell mató la búsqueda de la escasa teoría de variables ocultas que se suponía que completaba la Mecánica Cuántica. IMO esto califica porque el resultado es matemático.