¿Por qué las personas estudian representaciones de 3 grupos múltiples en$SL(n,\mathbb{C})$?

Question

Variedades de representaciones y caracteres de $3$-colector de grupos en $SL(2,\mathbb{C})$ han sido intensamente estudiados. Ellos han proporcionado herramientas para identificar estructuras geométricas en los colectores, y están relacionados con la $A$-polinomios y por lo tanto a diversas conjeturas sobre asymptotics de quantum invariantes tales como el AJ-conjetura.

Variedades de representaciones y caracteres de la superficie de grupos algebraicos grupos también han sido intensamente estudiados, esta hecho de ser una encuesta.

En los últimos años, ha habido un gran número de documentos sobre las variedades de representaciones y caracteres de $3$-colector de grupos en $SL(n,\mathbb{C})$ para $n>2$, incluyendo el desarrollo de varias herramientas para calcular los invariantes asociados a dichas variedades, por ejemplo, el trabajo de Garoufalidis, Thurston, Zickert, y Goerner.

Tengo las hojas a través de varios de estos papeles en varias ocasiones y escuchado algunas charlas, pero a pesar de que la comprensión de cualquier tipo de representaciones de $3$--colector de grupos es sin duda un objetivo digno, como es la generalización de los resultados conocidos para $n=2$ o de la superficie de grupos, en realidad no he entendido lo que motiva a esta dirección de investigación o de lo que la gente se pretenden alcanzar mediante el estudio de las representaciones.

Pregunta: ¿Cuál es la motivación para el estudio de las representaciones de la 3-variedad de grupos a $SL(n,\mathbb{C})$ para $n>2$?

Por ejemplo, se espera que tales declaraciones deben proporcionar herramientas para identificar estructuras geométricas en los colectores? Se esperaban para ofrecer una idea de las conjeturas sobre asymptotics de quantum invariantes? O tal vez algo más?

Answer 1

La respuesta más simple es que la universalización de la cobertura, junto con la cubierta de la acción en grupo, contienen una gran cantidad de información sobre el múltiple de admisión, y las representaciones del grupo proporcionan una forma para extraer de ella.

Representación del grupo corresponden a localmente constante de las poleas o el plano de conexiones.

El acíclicos representaciones, es decir, aquellos para los que la cohomology de los asociados localmente constante gavilla es trivial son particularmente interesantes. Cuentas ponderadas de tales representaciones suelen producir interesantes invariantes del colector. El Reidemeister de torsión es un promedio ponderado de recuento de acíclicos $\mathbb{C}^*$-representaciones, mientras que el Casson invariante es una firma de recuento de acíclicos $SU(2)$-representaciones.

El espacio de las representaciones en $SL(n,\mathbb{C})$ es, naturalmente, una variedad algebraica equipado con una rica estructura que puede posiblemente ser usado para producir los invariantes de la original del colector.

Answer 2

Tres colector de grupos son bastante especiales y su representación variedades tienen más estructura que la de un grupo aleatorio. Casson del punto de vista es muy útil para ver el punto. El Heegaard decompoistion de tres colector $Y= H_1\cup_\Sigma H_2$ significa que el grupo fundamental de un tres colector tiene una muy especial presentación. Hay pushout diagrama, \begin{eqnarray} \pi_1(\Sigma) & \to & \pi_1(H_1)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \pi_1(H_2) & \to & \pi_1(Y) \end{eqnarray} y por lo tanto los mapas en la dirección opuesta en la representación de las variedades.

\begin{eqnarray} R_G(\Sigma) & \leftarrow & R_G(H_1)\\ \uparrow & & \uparrow \\ R_G(H_2) & \leftarrow & R_G(Y) \end{eqnarray} La representación variedad $R_G(\Sigma)$ es un simpléctica colector al $G$ es compacto de Lie del grupo (gracias a Goldman y Atiyah-Bott) y obtiene una estructura de Kahler una vez que la métrica es elegido en $\Sigma$. Si $G$ es la complejización de un compacto de Lie del grupo y una métrica en $\Sigma$ es elegir a $R_G(\Sigma)$ es Hyperkahler colector. (Esto es una pequeña mentira (pequeña l ;-) que estos son los colectores.)
Los mapas de $R_G(H_i) \to R_G(\Sigma)$ son inyectiva y las imágenes (en la medida en que son colectores) son de Lagrange en el caso de $G$ es compacto y complejo de Lagrange al $G$ es la complejización de un grupo compacto. La intersección $$ R_G(Y)=R_G(H_1)\cap R_G(H_2) \subconjunto R_G(\Sigma) $$ es entonces mucho más especial, así que en el caso compacto se encuentra en la configuración de Lagrange Floer homología y en el caso complejo en la configuración es, por ejemplo, discutido recientemente por la universidad de Witten y Haydys (véase, por ejemplo, arXiv: 1010.2353 )

Con relación a este punto de vista es el hecho de que la representación de las variedades de tres colectores son el conjunto de puntos críticos de Chern-Simons funcional en un espacio adecuado de calibre de clases de equivalencia de las conexiones.

Pedimos disculpas por las imprecisiones debido a la prisa y el perezoso de composición tipográfica.

Answer 3

Aquí es otra (muy reciente) la motivación, que podría ser más específico.

En primer lugar, una aplicación del estudio de la $SL(2,\mathbb{C})$ carácter de la variedad es que detecta algunos esencial de las superficies (es decir, las superficies que son incompresibles y límite incompresible). Sin embargo el $SL(2,\mathbb{C})$ caracteres de la variedad que se conoce a no detectar todos los límites cuestas por el siguiente:

Eric Chesebro y Stephan Tillmann, SEÑOR 2395254 No todos los límites de las pistas están fuertemente detectado por el carácter de la variedad, Comm. Anal. Geom. 15 (2007), no. 4, 695--723. (también https://arxiv.org/abs/math/0510418)

Sin embargo, recientemente Friedl, Kitayama, y Nagel han anunciado que, de hecho, todo lo esencial de las superficies puede ser detectado con los $SL(n,\mathbb{C})$ carácter variedades.

Stefan Friedl, Takahiro Kitayama, y Matías Nagel, la Representación de las variedades detectar esencial superficies http://arxiv.org/abs/1604.00584

Answer 4

Yo diría que, como yo en la introducción de muchos de mis artículos, que el estudio de Betti Espacios de Moduli $$\mathrm{Hom}(\Gamma, G)//G$$ for finitely generated $\Gamma$ and complex reductive $G$ es interesante por derecho propio, pero que no era su pregunta.

Así, con respecto a la 3-variedad de grupos en particular, déjame anotar rápidamente un par de personas del trabajo:

1. Adam Sikora del trabajo en mayor Madeja de la Teoría y la cuantización: arXiv

2. Hans Boden y Eric Harper a trabajar en la mayor Casson Invariantes: arXiv

3. David Baraglia y Laura Schaposnik del trabajo sobre la partícula de Higgs, paquetes y branes: arXiv

También, las deformaciones de la $(G,X)$-estructuras en 3-variedades motiva el estudio de estos espacios. Por ejemplo, $\mathbb{RP}^3$-colectores; todos de Thurston ocho geometrías admitir $\mathbb{RP}^3$-estructuras.