¿Cómo puede un conjunto de componentes que no constituyen un vector?

Question

Muchos libros de Física insisten en definir los vectores de objetos con los componentes con la propiedad de que los componentes de transformar de una manera adecuada, bajo un cambio de coordenadas. Ahora, en las matemáticas, por otro lado, los vectores como objetos geométricos (en lugar de los objetos algebraicos a partir de álgebra lineal), pertenece al ámbito de la Geometría Diferencial. En ese caso, tenemos un suave colector $M$ y un punto de $a\in M$. Un vector en el $a$ se puede definir:

1. Como una clase de equivalencia de curvas suaves que pasa a través de $a$, que de manera intuitiva, en ese momento van en la misma dirección.
2. Como un punto de derivación, es decir, una derivación en el álgebra de los gérmenes de las funciones lisas en $a$.

De esta forma se define el espacio de la tangente $T_a M$. Este es un espacio vectorial real con dimensión $n = \dim M$, y, por tanto,$T_a M \simeq \mathbb{R}^{n}$. En particular, esto significa que hay un bijection entre el$T_a M$$\mathbb{R}^n$, de modo que dado cualquier tupla de componentes, que hacer la forma de un vector en $T_a M$. Esto parece estar en contra de los físicos' definición, ya que no hay nada impuesto sobre los componentes para formar un vector.

Por otro lado, podemos poner todos tangente espacios juntos para formar la tangente bundle $TM$. Definimos a continuación campos vectoriales como las secciones de ese paquete, es decir, las asignaciones de $X: M\to TM$ tal que $\pi\circ X = \operatorname{id}_M$ donde $\pi : TM\to M$ es la natural proyección. $X$ también debe ser continua y diferenciable, y por supuesto, también tiene componentes dada por

$$X = X^i \dfrac{\partial}{\partial x^i}$$

Ahora, dado un conjunto de funciones de los componentes del $X^1,\dots, X^n$ I no puede ver cómo fallan para hacer un buen campo de vectores. Si las funciones son diferenciables, continuo, y si obedecen a la propiedad que $\pi \circ X= \operatorname{id}_{M}$, a continuación, que son buenos para ir.

Así que mis preguntas son:

1. Lo que es realmente el punto en darle tanta enphasis en el camino de vectores de transformación, llegando hasta el punto de que podemos utilizar esta propiedad para incluso definir los vectores?

2. Cuando los físicos hablan acerca de la definición de un vector utilizando propiedades de transformación, están realmente hablando de campos vectoriales y los cambios de coordenadas en un colector o de los vectores y de los cambios de base en cada espacio de la tangente?

3. ¿Cómo puede un conjunto de componentes (o las funciones de los componentes) pueden fallar para hacer un vector (o campos vectoriales)?

Answer 1

Los vectores pueden ser definidos de múltiples formas diferentes. Aquí voy a mostrar las cuatro formas y explicar cómo son equivalentes$^1$.

1. Una clase de equivalencia de curvas. Dada una curva del parámetro $t$, las curvas se consideran equivalentes si tienen el mismo cero y de primer orden de los derivados en $t=0$. En otras palabras, un vector en un punto de $p$ es una clase de equivalencia $[\gamma]$ tal que $$x^i(\gamma(t))=x^i(p)+tv^i+O(t^2),\quad v^i:=\left.\frac{d}{dt}\right|_{0}x^i(\gamma(t))$$ Aquí la base de vectores se definen como las clases de equivalencia $[\gamma_i]$ donde $\gamma_i$ es la curva de constante $x^i$.

2. Un funcional lineal en el álgebra el álgebra de (suave) funciones de$^2$ que es una derivación. Esta definición del vector es la dirección de las derivadas. Dada una curva $\gamma$, podemos definir el vector tangente $v$ tal que $$vf=\left.\frac{d}{dt}\right|_{0} f(\gamma(t))$$ Los vectores de la base son sólo las derivadas direccionales lo largo de las curvas de constante $x^i$. También vemos que esta definición del vector es compatible con la equivalencia de definición de la clase, ya que la derivada no depende de $\gamma\in[\gamma]$.

3. Un diferencial de primer orden del operador. Aquí escribimos$^{3,4}$ $$v=v^i\partial_i|_p,\quad\partial_i:=\frac{\partial}{\partial x^i}$$ Para ver cómo esto se relaciona con la segunda definición, aplicar esto a una función: $$vf=v^i\partial_i|_p f$$ Ahora el uso de la regla de la cadena en la segunda definición para obtener $$v^i=\frac{dx^i}{dt}$$ Esto también se realiza una conexión a la definición de $v^i$ en la primera definición. Observamos asimismo que en derivadas parciales, bajo un cambio de coordenadas $x\rightarrow x'$ transformar con la inversa del Jacobiano. Para $v$ a, a continuación, deberá coordinar invariante, $\{v^i\}$ debe transformar con el Jacobiano.

4. Una $n$-tupla de (real) de los números que se transforma con el Jacobiano. Todo lo que decimos aquí es que $v^i$ es un vector si $v^i\rightarrow J^i{}_j(p)v^j$. Esta transformación de la regla es consistente con el de la definición 3.

Armado con este conocimiento, deje que nosotros nos ocupamos de sus preguntas.

1. Es muy fácil de entender en el nivel introductorio. También se generaliza bien a los vectores en diferentes contextos. Por ejemplo, podemos tener vectores de rotación, donde el "Jacobina" es simplemente una matriz de rotación. Otro ejemplo es un vector en $SU(N)$,$^5$ que cambia con una matriz unitaria. En otras palabras, un vector es algo que se transforma como un vector. Esto luego se generaliza a los tensores. Un tensor es algo que se transforma como un tensor.

2. Un campo vectorial es simplemente un objeto que se asigna un vector a cada punto en el colector. Vectores y campos vectoriales de transformación de la misma manera, la única diferencia es que los coeficientes en la expansión lineal son no constante y la derivada parcial vectores de la base no están restringidas a un punto.

3. La tupla $\{x^i\}$ es no un vector. No transformar correctamente. Algunos otros ejemplos se pueden encontrar en la relatividad general. El vector de aceleración $\ddot x^i$ es no un vector, a pesar de ser una tupla. Esto es debido a que no se transforma correctamente. También contamos con la cantidad que aparece en la ecuación geodésica, $\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$. Los símbolos de Christoffel famoso ¿ no transformar como tensores, por lo que esta combinación es no un vector.

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$^1$ Ver [1] p. 23 ff o [2] p. 589 ff para obtener más detalles.

$^2$ Este post no se hace ninguna distinción entre las funciones y los gérmenes.

$^3$ No tenemos el uso de derivadas parciales, pero las derivadas parciales de una forma muy conveniente de la base de que el espacio de la tangente. Ver [3] p. 15 para una prueba simple.

$^4$ Tenga en cuenta que las derivadas parciales se evalúan en el punto de $p$.

$^5$ También conocido como la base fundamental de la representación.

Referencias:

[1] M. Fecko, la Geometría Diferencial y la Mentira de los Grupos de Físicos (2006).

[2] N. Straumann, La Relatividad General (2013).

[3] R. Wald, Teoría General De La Relatividad (1984).

Answer 2

Cuando los físicos decir que un vector es una n-tupla que se transforma de acuerdo a la... esperan que supongo que muchos que no se dijo. Lo que significa es que para cada base está dada una n-tupla de números. Y cuando se toma la matriz que le da el cambio de bases para cualquiera de las dos bases y aplicar la fórmula en su "definición" de la primera n-tupla que se va a la segunda una así sucesivamente. Por lo tanto, estos n-tuplas son las coordenadas de un vector con respecto a cada base.

edit: En su respuesta 0celo7 da las cuatro formas de definir los vectores de tangentes en un punto en un colector. Así que aquí es otra manera para aquellos que son algebrista en el corazón. Deje $M$ ser un colector y $p$ un punto en ella. Denotar por $\mathcal O_p$ el anillo de los gérmenes de las funciones lisas en el punto. Es un anillo local en el sentido de que tiene un único ideal maximal $\mathcal m_p$. El cociente $\mathcal O_P/\mathcal m_p$ es isomorfo a $\mathbb R$ $\mathcal m_p/\mathcal m^2_p$ es, naturalmente, un espacio vectorial sobre $\mathcal O_P/\mathcal m_p$ es decir, se trata de un verdadero espacio vectorial. Que se llama el espacio cotangente del colector en el punto dado. Su doble $\left(\mathcal m_p/\mathcal m^2_p\right)^*$ es el espacio de la tangente. Uno puede comprobar que esto es equivalente a cualquiera de las cuatro de la definición.

Answer 3

OP escribió (v3):

Ahora, dado un conjunto de funciones de los componentes del $X^1,\dots, X^n$ I no puede ver cómo fallan para hacer un buen campo de vectores. Si las funciones son diferenciables, continuo, y si obedecen a la propiedad que $\pi \circ X= \operatorname{id}_{M}$, a continuación, que son buenos para ir.

Es (implícitamente) implícita por OP notación que

1. las funciones de los componentes del $X^1,\dots, X^n\in C^{\infty}(M)$ son globalmente las funciones definidas.

2. el coordinar las funciones de $x^1,\dots, x^n\in C^{\infty}(M)$ son globalmente las funciones definidas.

Sin embargo, hay muchos ejemplos de diferenciables colectores $M$, que no tienen un global de coordenadas del gráfico, por ejemplo, la 2-esfera $S^2$.

La noción general de un campo vectorial no debe depender de si existe un global de coordenadas del gráfico, o no.

Answer 4

Creo que los físicos y matemáticos, en esta situación, tomar dos formas diferentes para obtener la misma cosa. Como Borges habría dicho, cada uno es platónico o aristotélico; en este caso (y probablemente siempre) los matemáticos siendo el primero de ellos y el de los físicos de la última.

Desde el punto de vista matemático, la estructura general (categoría) de los colectores y la tangente espacios y por lo tanto, de que la física colectores de clásica y la física relativista son sólo casos especiales (tenga en cuenta que los colectores de la relatividad son localmente homeomórficos, como métrica de espacios, para el espacio de minkowski y no euclidianas: el conjunto siempre es $\mathbb{R}^n$, pero la métrica es diferente).

Desde el punto de vista físico, tiene objetos que se pueden observar en el mundo real, y que obedecen a ciertas reglas, entre las que destaca (en este contexto) se transforman en una peculiar forma bajo cambios de coordenadas entre diferentes marcos de referencia. A partir de estas reglas es útil para inferir una estructura general, con el fin de hacer interesantes predicciones. Resulta que la adecuada estructura métrica del espacio-tiempo "accidentalmente" encaja en la definición de riemann colectores (localmente minkowski/euclidiana).

Dentro de esta nueva estructura potente, el galileo/lorentz transformaciones de coordenadas que se acaba de particular mapas entre los gráficos en el colector, que puede ser visto como la versión local de endomorphisms de la de riemann colector (transformaciones que asociar a cada punto del colector de otro punto de la misma y que preservan la de riemann de la estructura del colector de sí mismo, más concretamente de su métrica).

También, por otro lado, dado un colector es posible caracterizar su endomorphisms, y por lo tanto recuperar las transformaciones físicas como un caso particular.

El resto es, en cierto sentido, una consecuencia: dado un endomorfismo del colector, esto induce a un endomorfismo de la tangente del paquete y por lo tanto va a tener cómo campos vectoriales transformar en virtud de la transformación, y así sucesivamente. Pero esto es fijo, como el concepto de vectores, formas, etc. una vez que han dado el colector.

Answer 5

Tomar coordenadas Cartesianas para el avión real y transformarlos en polar. ¿El conjunto de coordenadas $(x,y)$ transformación de un vector? Si usted trabaja en este ejemplo verás que esta transformación, a diferencia de los lineales, no implica el Jacobiano de la transformación. En el caso lineal esto es sólo un accidente.