¿Es Li (x) la mejor aproximación posible a la función de conteo primo?

Question

El Primer Número Teorema dice que $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi(n)}{\mathrm{Li}(n)} = 1$ donde $\mathrm{Li}(x)$ es el Logaritmo de la función integral de $\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{1}{\log(x)}dx$. Es también el caso de que $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi(n)}{n/\log(n)} = 1$, como $\mathrm{Li}(x)$ e $\log(x)$ son asintóticamente equivalentes. Sin embargo parece que $\mathrm{Li}(n)$ es una mejor aproximación a $\pi(n)$ (el Mathworld artículo se dice que esto ha sido probado, no sé en qué sentido preciso).

También hay resultados para la diferencia absoluta entre el $\pi(n)$ e $\mathrm{Li}(n)$; por ejemplo, $\pi(n) - \mathrm{Li}(n)$ se sabe a cambio de signo infinitamente a menudo. También sabemos que la Hipótesis de Riemann es equivalente a $$ \pi(n) - \mathrm{Li}(n) \in O \left (\sqrt{n} \log(n) \right ).$$

Además, Riemann demostró que tenemos $$\pi(n) = \mathrm{Li}(n) - \frac{1}{2} \mathrm{Li}\left ( \sqrt{n} \right ) - \sum_{\rho} \mathrm{Li}(x^\rho) + \text{lower order terms}$$ where $\rho$ ejecuta a través de todos los ceros no triviales de la de Riemann zeta función.

Pregunta: ¿hay un sentido en el que $\mathrm{Li}(n)$ es la mejor aproximación posible a $\pi(n)$? Idealmente, habrá algún tipo de Bohr-Mollerup tipo de teorema: $\mathrm{Li}(n)$ es la única que se caracteriza por ser una buena aproximación a $\pi(n)$ que tiene algunas propiedades, tales como la analiticidad y negativo de la derivada segunda. Probablemente, $\mathrm{Li}(n)$ no es la mejor posible, por ejemplo, $\mathrm{Li}(n) - \frac{1}{2} \mathrm{Li}\left ( \sqrt{n} \right )$ podría ser mejor? Riemann también sugirió $$\sum_{n \geqslant 1} \frac{\mu(n)}{n} \mathrm{Li} \left (x^\frac{1}{n}\right ),$$ where $\mu(n)$ es la función de Möbius.

Answer 1

Esta es una extensión de Emerton del comentario. De mi bolsillo reimpresión de 1990, de "La Distribución de los Números Primos", por A. E. Ingham (1932). Ingham está discutiendo su fórmula con la función de Möbius, páginas 105-106:

"Considerable importancia estaba conectado anteriormente a una función sugerido por Riemann como una aproximación a $\pi(x)$...Esta función representa el $\pi(x)$ con asombrosa exactitud para todos los valores de $x$ para que $\pi(x)$ ha sido calculado, pero ahora vemos que su superioridad sobre los $\mathrm{Li}(x)$ es ilusorio...y en especial los valores de $x$ (tan grande como queramos) la aproximación se apartan tan ampliamente como el otro, el verdadero valor."

En el siguiente párrafo muestra que RH implica "Y que podemos ver en la misma forma que la función de $\mathrm{Li}(x) - \frac{1}{2} \mathrm{Li}(x^{\frac{1}{2}})$ es `en el medio' una mejor aproximación de $\mathrm{Li}(x)$ a $\pi(x)$; pero que no tiene importancia, puede ser conectado a los últimos términos en la fórmula de Riemann incluso por los reiterados en promedio."

Material Similar es en Edwards páginas 34-36 donde se discute el tamaño relativo de los términos, como Emerton comentarios. Edwards no se molesta con la comparación de las diferentes aproximaciones, bajo el supuesto de RH.

EDIT: recuerdo claramente que el error de estimación de la Vallée Poussin (el segundo comentario de Thomas Bloom) muestra que $\mathrm{Li}(x)$ es una mejor aproximación para $\pi(x)$ que cualquier función racional de $x$ e $\log x.$ I am no encontrar una referencia que utiliza esas palabras exactas. Sin embargo, Edwards casi en la sección 5.4, página 87. Aquí se muestra la habitual asintótica de expansión, la fórmula (5), y señala que $\mathrm{Li}(x)$ es, finalmente, una mejor aproximación para $\pi(x)$ de la asintótica de expansión se detuvo en un número finito de términos. Creo que es probable que esto también establece el reclamo para cualquier función racional de $x$ e $\log x.$

Answer 2

Si para un conjunto finito $\mathcal{R}$ de las raíces en la aproximación $$ \pi(x)\approx\mathrm{Li}(x)-\frac{1}{2}\mathrm{Li}(x^{1/2})-\sum_{\rho\in\mathcal{R}}\mathrm{Li}(x^\rho) $$ es "en promedio" mejor, a continuación, $\pi(x)\approx\mathrm{Li}(x)-\frac{1}{2}\mathrm{Li}(x^{1/2})$ depende de la noción precisa de la media. Desde $x^\rho=x^\sigma e^{i\gamma\log x}$, lo que podría parecer más natural considerar a $\pi(e^t)$ en lugar de $\pi(x)$. Las cosas son un poco más fácil para $\Psi$, y hay que meterse debajo de RH $$ \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_2^T\left(\Psi(e^t)-e^t-\sum_{\rho\in\mathcal{R}}\frac{e^{t\rho}}{\rho}\right)^2\frac{dt}{e^{t/2}} = \sum_{\rho\no\in\mathcal{R}}\frac{1}{|\rho|^2} $$ (insertar fórmula explícita, tirar términos de la pequeña orden, la plaza, el intercambio integral y la suma). Así que después de la correcta reescalado incluyendo algunas raíces realidad no reducir el error medio.