En este post en la n-Categoría de Café, Urs Schreiber dice que, "la teoría de La G-director haces tiene sentido en cualquier $(\infty,1)$-topos." He seguido el enlace a la nLab y trató de perseguir a las definiciones, pero me pareció demasiado rápidamente mi cabeza dando vueltas.
¿Qué es un $(\infty,1)$-topos, y por qué es un entorno apropiado para el estudio de los principales paquetes, es decir, haciendo la geometría diferencial?
Derivado de las versiones de la topología diferencial se están convirtiendo prominente herramientas en geometría simpléctica. Si o no usted piensa de ellos a través de topoi no es crucial (ciertamente no puedo), y tal vez la terminología que se apague más gente de la que se nutre, pero estas ideas son puestas a un uso serio por muy graves sin sentido matemáticos -- creo que una excelente (aunque, por supuesto, no aislado) ejemplo es el trabajo de los diferenciales de aparejador Domingo Joyce que explica maravillosamente las necesidades que se llevó profundo en esta área, ver a su proyecto de libro de 800 páginas en la D-colectores (que por cierto se adapta una versión truncada de la $\infty$-mundo de lo concreto, pero es, sin duda, parte de esta historia.
Una forma de expresar (muy brevemente) las cuestiones es decir, la derivada de (o $\infty$) idioma permite omitir el geométrica, pero muy sutiles cuestiones de transversalidad que interfiere seriamente con el progreso en algunas áreas de la geometría (Floer teoría). Las intersecciones, los productos de fibra, y otras construcciones derivadas en los módulos de teoría (obstrucciones/virtual clases fundamentales) conducen naturalmente a derivados de los colectores, los cuales conservan la suficiente estructura para permitir construcciones algebraicas para trabajar sin la necesidad de establecer y mantener un registro de las perturbaciones. (Esta no es mi área, por lo que no puedo en serio defender la necesidad de que este en contra de un escéptico, pero Joyce puede..) permítanme decir también que este tipo de geometría hace mucho geométrica de los resultados (como el de Atiyah-Bott teorema de punto fijo, algunos Grothendieck-Riemann-Roch y el índice de teoremas, etc) completamente formal. Que para mí es el principal atractivo de este aumento en el lenguaje, que hace que las matemáticas que tiene una probabilidad de ser formal, de hecho formal. Ese no es el caso para muchos de los resultados (y probablemente todo lo que estoy diciendo se aplica más a la topología diferencial de la geometría), pero que cuando hay grandes áreas en las que podría haber soñado que elegante construcciones abstractas podría funcionar pero la realidad ha demostrado ser muy diferentes, es emocionante ver que hay nuevos lenguajes que pueden (o no), gire a la tarea.
Ok, así que voy a intentar responder a esta mejor que puedo. en primer lugar, te diré una sesgada perspectiva de lo que una infinidad topos es (o debería-a-ser). En cuanto a cómo usted puede "hacer geometría diferencial"- esta es una declaración audaz. Pero, hay ciertos aspectos de la geometría diferencial que se extienden de forma natural / tener una buena interpretación en (cierto) infinito topoi (con extra de la estructura).
¿Qué es un infinito topos? Ciertamente el desgaste de muchos diferentes capas, y no voy a intentar dar una visión global; no hay razón por la que aún sólido libros en $1$-topoi son bastante largo, ya que los topoi puede ser pensado como una generalizada de los espacios, o teorías en la lógica, o los universos a los que se comportan igual que el Conjunto, etc.. me concentraré sólo en un aspecto particular de la infinidad topos de la teoría. Usted puede haber oído el lema "un topos es una categoría que se comporta como la categoría de conjuntos". En este vano, el análogo lema es "un infinito topos es una infinidad de categorías que se comporta como el infinito de la categoría de los espacios (el pensamiento de como homotopy tipos, es decir, el infinito groupoids)." Básicamente, una infinidad topos proporciona un lugar en el que hacer homotopy teoría. Los objetos en un infinito topos han homotopy grupos, se puede hablar de Eilenberg-Mac Lane objetos etc. Para ser más concretos, así como un 1-topos surge al tomar las poleas de los conjuntos en un 1-categoría, una infinidad topos surge como tomar "gavillas" de los espacios (infinito groupoids) a través de una infinidad de categoría. (Aunque, el concepto de la gavilla es diferente Y para ser más correctos, cada infinity topos surge lo que se denomina una cotopological la localización de una infinidad categoría de infinito poleas en una infinidad de categoría, esto es debido a la falta de Whitehead del teorema interna a la gavilla topos) que, Básicamente, se debe pensar en una infinidad topos de poleas (o algunos hypercompletion de los mismos, etc.) en una categoría $C$ a de ser algún tipo de hybredization de "generalizada objetos de $C$" y el infinito groupoids. ¿A qué me refiero? Bueno, a veces la gente de la vista (al menos cierta) gavillas en la categoría de colectores como generalizado de los colectores. De hecho, puede representar fielmente todas las infinitas dimensiones colectores de esta manera. ¿Qué es un ejemplo de algo entre un colector y un groupoid? Un orbifold. Orbifolds (y más en general el diferenciable pilas) naturalmente vive en el 2-topos de poleas (pilas) de groupoids en los colectores. Un orbifold / differentialble de la pila es como un colector de cuyos puntos puede poseer finito / Mentira intrínseca de la simetría de los grupos. Lo que si estos grupos de simetría en sí no forma de un colector, pero otra diferenciable de la pila? Entonces usted podría estar buscando en un mayor diferenciable de la pila (que esta en vivo en el 3-topos). En general, todo lo que vive en el infinito topos de gavillas de infinito groupoids en los colectores.
Ok, ¿qué tiene que ver esto con el director haces? Si te dan una Mentira grupo $G,$ se puede considerar esto como un objeto de grupo en los colectores, por lo tanto, un groupoid objeto en los colectores (con un objeto), y por lo tanto de un (representable) gavilla de groupoids en los colectores. No es una pila, pero la pila que representa, es el functor $$Mfd^{op} \to Gpd$$ sending a manifold $M$ to the groupoid of principal $G$-bundles over $M$. This stack, is often denoted by $BG$ and is quite formally related to the topological classifying space (and in fact, as a differentiable stack, has the same homotopy type as this). By the Yoneda lemma, maps (not homotopy classes, ALL maps) from $M$ to $BG$ are the same as principal $G$-bundles on $M,$ and $BG$ caries a universal principal $G$-bundle over itself, just as in the topological picture. Now, suppose you cared about line bundles, then you could let $G=U(1)$ and then $BU(1).$ Suppose instead, you cared about bundle-gerbes, then you take $B^2U(1),$ which corresponds to viewing $U(1)$ as a $2$-groupoid with one object, and for bundle $2$-gerbes $B^3U(1),$ etc.
Ok, pero ¿cómo es esto geometría diferencial? Derecho, por lo que no lo es. No todavía. No creo que sea correcto decir que usted puede "hacer geometría diferencial" en un infinito topos. Lo que es cierto es que hay muchos interesantes infinito topoi con extra estructura que además de tener una noción de director de lote, etc., tener una buena noción de los principales paquete con conexión y permiten hacer un buen sentido del "diferencial cohomology". (También puede hacer sentido de las cosas, como "superior", Mentira, teoría, etc.). Lo Urs notado es que usted puede definir todas estas cosas dentro de cualquier infinity topos admitir una "estructura cohesiva". No espero que la definición de ser esclarecedor. El punto es, dentro de cualquier "cohesionada infinito topos" uno puede hacer sentido de los principales paquetes con la conexión, y, más en general, básicamente todo lo que se necesita para hacer sentido de los llamados "mayores teoría de gauge" (Urs motivación proviene de la física). E. g., el lenguaje le permite hacer un buen sentido de lo que es un buen $String(n)$-bundle con la conexión o lo liso $FiveBrane(n)$-bundle es decir, con la conexión. Esto es lo que Urs significa cuando dice que puede "hacer geometría diferencial."
De todos modos, espero Urs mismo campanadas así.
Si la pregunta no es realmente acerca de los principales paquete de la teoría, sino sólo acerca de: ¿por qué necesitamos superior de la geometría diferencial , entonces por supuesto hay muchas más respuestas:
Clásicos de la geometría diferencial incluye orbifolds
http://ncatlab.org/nlab/show/orbifold
como los objetos que manejan no es libre cocientes de suave colectores. Estos son realmente los primeros tipos de ejemplos de Mentira groupoids
http://ncatlab.org/nlab/show/Lie+groupoid
por lo tanto, de las pilas en la categoría de suave colectores. Todos los clásicos de la foliación de la teoría de la
http://ncatlab.org/nlab/show/foliation
secreto es Mentira groupoid teoría. Y la única manera coherente de la comprensión de la colección de la Mentira groupoids, con su correcta noción de equivalencia de Morita y de homotopy, es como en la comprensión de ellos como de los objetos de la $(2,1)$- "topos" de las pilas de más suave colectores.
También se encuentran la teoría misma se rompe fuera de la categoría de suave colectores. Por ejemplo, donde reposan los tres teoremas fallar: no todas las dimensiones infinitas Mentira álgebra se integra a una Mentira de grupo, sino que en su lugar se integra a una cierta Mentira 2-grupo, un objeto de grupo de Lie groupoids/suave pilas. Esto es más cierto tan pronto como usted admitir que se encuentran algebroids son parte de la geometría diferencial
http://ncatlab.org/nlab/show/Lie+algebroid .
Mentira algebroids directamente codificar ecuaciones en derivadas parciales
http://ncatlab.org/nlab/show/exterior+diferencial+sistema de
La mayoría de Mentira algebroids integrar a Mentir groupoids, pero algunos se quieren integrar a la Mentira 2-groupoids, que animan en el $(3,1)$-topos más suave colectores. Y así sucesivamente.
Haciendo la geometría diferencial y no se detiene cuando clásica construcciones fallar invariablemente conduce a una mayor geometría diferencial, por lo tanto a trabajar en el $(\infty,1)$-topos más suave colectores.
Tal vez eso es lo que la pregunta realmente estaba pidiendo. Si además uno se siente como refinar el sitio de suave colectores de sí mismo como para incluir a los "derivados suave colectores", entonces uno tiene algo que incluso los más ricos, como se ha mencionado en otra respuesta aquí. Tales derivados y superior de la geometría diferencial es de destacar, la casa de la BV-BRST formalismo
http://ncatlab.org/nlab/show/BV-BRST+formalismo
por lo tanto, de la forma moderna de cálculo variacional, simpléctica y de reducción del homológica de la integración de la teoría.
Aquí es una forma de decirlo, lo que hace que la relación con el principal paquete de la teoría de la mayoría de manifiesto ( http://ncatlab.org/schreiber/show/Principal+%E2%88%9E-bundles+--+theory,+presentations+and+applications ):
Una $\infty$-topos es un contexto para homotopy teoría que satisface los tres axiomas, el "Giraud-Rezk-Lurie"-axiomas (para todas las palabras clave ver los punteros detrás del enlace de arriba). En
Thomas Nikolaus, Urs Schreiber, Danny Stevenson Director infinito-paquetes - teoría General http://arxiv.org/abs/1207.0248
está demostrado que precisamente dos de estos axiomas de la teoría de los principales paquetes de trabajar bien, con su clasificación por nonabelian cohomology. Esto es puramente axiomático, por lo tanto completamente general. Se puede por ejemplo ser implementado en homotopy tipo de teoría.
En la segunda parte
Thomas Nikolaus, Urs Schreiber, Danny Stevenson Director infinito-paquetes - Presentaciones http://arxiv.org/abs/1207.0249
se discuten las formas convenientes para aplicar esta teoría general geométricas en contextos tales como la topología, geometría diferencial, geometría algebraica, etc. De esta manera la axiomática de la teoría recupera la tradicional teoría, inclduding teoría de gerbes, mayor gerbes, trenzado cohomology, trenzado de paquetes, simplicial paquetes etc.
Allí se anunció una tercera parte "Principal infinito-paquetes - Ejemplos y aplicaciones", que aún no ha salido. Pero un montón de ejemplos y aplicaciones se discuten en el texto
Diferencial cohomology en un grupo cohesivo topos http://ncatlab.org/schreiber/show/differential+cohomology+en+un+cohesivo+topos
Son correspondientes notas de la conferencia
La geometría de la física http://ncatlab.org/nlab/show/geometry+de+la física
Un par de semanas atrás, en enero me estaba dando la primera de tres conferencias de la segunda parte de estas notas en Singapur en el TFT de la reunión. Si usted tiene cualquier familiary con la física, echa un vistazo por ejemplo a la sesión
la geometría del fof de la física de Campos http://ncatlab.org/nlab/show/geometry%20of%20physics#Fields
el cual incluye una discusión de cómo la noción tradicional de "campo de paquetes" en la teoría cuántica de campos no es completamente correcto, y cómo su corrección, lo lleva a uno a estudiar paquete de la teoría en un infinito-topos. Muchos ejemplos a seguir.
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