¿Cómo se tratan con mayor frecuencia los colectores de dimensiones infinitas?

Question

Originalmente publicado esta pregunta en StackExchange, donde se sugirió he puesto aquí. También se sugirió que he leído acerca de Hilbert colectores y colectores de Fréchet. Sin embargo, todavía estoy buscando una respuesta a (principalmente la primera parte de mi pregunta.

En una escuela de verano recientemente asistí, de dimensiones infinitas colectores apareció. Nunca he trabajado con ellos antes (aunque estoy muy familiarizado con finito-dimensional colectores). El profesor de la escuela no dar detalles acerca de la realización técnica de dimensiones infinitas variedades, mencionar que hubo problemas (tales como la recolección de una topología) que iba a dejar a fuera para el bien de la claridad, ya que los resultados más relevantes fueron la verdadera independiente del número exacto de los detalles técnicos. Una búsqueda en internet revela que de Banach colectores son una manera de tratar de dimensiones infinitas variedades, pero hay otros.

Son de Banach colectores de la forma más común de la definición de dimensiones infinitas variedades, o hay otras nociones comúnmente utilizados? Hay más o menos consenso universal acerca de cuándo usar qué tratamiento? ¿Cuáles son los más importantes (des)ventajas de cada uno?

Suponiendo que quieran aprender los conceptos básicos de dimensiones infinitas variedades, las hay bien escrito textos introductorios que usted recomendaría? (en StackExchange, El Cómodo Ajuste de Análisis Global por A. Kriegl y P. Michor fue recomendado)

Answer 1

De Banach colectores han encontrado muchos usos tales como, el calibre de la teoría (teoría de Donaldson, Seiberg-Witten teoría, Floer teoría), topología simpléctica (Gromov-Witten teoría), para nombrar unos pocos estoy más familiarizado.

Una gran ventaja de Banach colectores de más de Frechet colectores es el teorema de la función implícita de que en el contexto de Banach toma una forma más simple, y por lo tanto de Banach colectores son más fáciles de reconocer.

Una desventaja de Banach colectores de más de Frechet colectores es el hecho de que los naturales de nociones de lo real analiticidad son más difíciles de implementar en los espacios de Banach.

Un lugar para aprender acerca de Banach colectores se Lang Diferencial y de Riemann Colectores

Answer 2

Una tendencia que parece ser que la categoría de las poleas de los conjuntos en el sitio de suave colectores (también conocido como la categoría de la generalizada colectores) es la categoría correcta de lo que uno podría llamar suave conjuntos. (Aquí ya no restringir nuestra atención a los espacios que se ven la misma en cada punto, y de hecho, tenemos espacios que no tienen ningún punto en absoluto.) En particular, se incluye todo tipo de dimensiones infinitas variedades, tales como Banach y Fréchet colectores como completo subcategorías. También contiene muchas otras categorías de lisa los objetos, tales como diffeological espacios como subcategorías. Además, esta categoría puede ser generalizado bien más suave homotopy tipos, por ejemplo, liso stacks = suave homotopy 1-tipos de que constantemente pop-up, incluso si estás estudiando ordinario la geometría diferencial.

Como ejemplo, se puede citar el siguiente resultado. Considerar el buen pila B^∇G de suave principal de G-paquetes con la conexión y el buen conjunto Ω de formas diferenciales. El conjunto de mapas B^∇G→Ω resulta ser canónicamente isomorfo al álgebra de Ad-invariante polinomios en la Mentira de álgebra de G. Así, uno se recupera de Chern-Weil teoría en una forma muy natural. Véase el reciente artículo de los Liberados y Hopkins para más detalles: http://arxiv.org/abs/1301.5959. No creo que este resultado puede ser obtenido en cualquier otro modelo de objetos lisos, porque otros modelos no se permiten espacios como el B^∇G y Ω.

Answer 3

Para muchas aplicaciones, los colectores Banach no son adecuados: Los grupos de difeomorfos de Sobolev o %-%-% son solo grupos topológicos. Si un grupo Banach Lie actúa eficazmente sobre un colector compacto (por lo tanto dimensional finito) liso, entonces es dimensional finito en sí mismo.

Answer 4

Las diferentes nociones de colectores pueden ser útiles en diferentes enfoques. Tal vez más importante que encontrar "consenso universal" en el que es suppoosed para ser utilizado donde es tener un idioma para el tratamiento de las diversas nociones de manera uniforme como para ser capaz de pasar entre ellos en una forma útil.

Uno de esos más general de la categoría es la de "diffeological espacios". En

http://ncatlab.org/nlab/show/diffeological+espacio

se discute cómo por ejemplo Frechet colectores fielmente incrustar en estos.

Diffeological espacios forman un "cuasi-topos". Siguiente Grothendieck del plomo, es mejor ir un paso más allá a un topos de la geometría diferencial. El topos de la generalización de diffeological espacios es el de la "suave espacios" (suave conjuntos/lisa 0-tipos)

http://ncatlab.org/nlab/show/smooth+espacios

cual es la gavilla topos sobre la categoría de suave colectores (o, equivalentemente, justo por encima de la de Euclides espacios con suave mapas entre ellos). Las variantes de este con un poco más de información sobre el aspecto diferencial de la geometría diferencial incluyen, por ejemplo, el "Cahier topos"

http://ncatlab.org/nlab/show/Cahiers+topos

Ver que hay para punteros de cómo "conveniente espacios vectoriales" y, por tanto, el infinito-dimensional colectores de modelado en ellos ("conveniente colectores") son fielmente incrustado en que los topos.

En estos toposes, por ejemplo, todos de asignación de espacios existen y pueden ser de utilidad tratados, mientras que de acuerdo con el infinito-dimensional colector de estructuras de asignación de espacios siempre que aquellos que realmente existen. Declaraciones similares valen para todas las otras universal de construcciones.

Así topos teoría transforma la cuestión de la búsqueda de "consenso universal" en el que la definición es mejor para una más relevantes de la técnica de la pregunta: ¿qué definición concreta pasa a constituir una presentación de un universaly la construcción existente en el topos. Las presentaciones son útiles, pero son hechas por el hombre. Se puede aplicar o no, puede ser útil aquí o allí. Pero el buen espacios que se presente existen universalmente, con firmeza y meaniningfully independientemente de tales elecciones.