¿Por qué deberíamos preocuparnos por los "infinitos superiores" fuera de la teoría de conjuntos?

Question

Digamos que eres un futuro matemático con algunas ideas confusas sobre la cardinalidad.

Si supusiera que los números naturales son finitos, se desvanecería rápidamente en una bocanada de lógica. :)

Si se pensara que los números naturales y los reales tienen la misma cardinalidad - la teoría de la medida se rompería casi con toda seguridad, y su suposición entraría en conflicto con cualquier número de "teoremas de integridad" en el análisis (como el Teorema de la Categoría de Baire, por ejemplo).

Sin embargo, digamos que concluyes que sólo hay tres tipos de cardinalidad: finita, incontablemente infinita e incontable.

¿Esta creencia errónea entraría en conflicto con algún teorema importante de análisis, álgebra o geometría? ¿Algún campo de las matemáticas - fuera de la teoría de conjuntos - sería claramente incompatible con su suposición?

PD: Disculpa por el título provocativo. Espero que la pregunta esté clara.

Answer 1

$\newcommand\ZFC{\text{ZFC}}$ Tal vez sería útil mencionar que los teóricos del conjunto han, por supuesto, han estudiado numerosas teorías de conjuntos más débiles, incluyendo algunas débiles, que no dan lugar a cardinalidades más altas. Un Se puede interpretar su pregunta como: ¿en qué medida estas teorías de conjuntos débiles débiles sirven de fundamento a las matemáticas?

Por supuesto, los teóricos del conjunto generalmente estudian estas teorías débiles no como teorías fundacionales, sino más bien porque quieren de la teoría de conjuntos en alguna teoría mucho más teoría más fuerte, pero los objetos que aparecen en la construcción son conjuntos transitivos que satisfacen estas teorías más débiles, por lo que necesitan saber, por ejemplo, si esos objetos son a su vez cerrados bajo ciertas construcciones. Si esas construcciones se pueden emprendidas en la teoría débil, entonces lo son.

Por poner algunos ejemplos, la teoría conocida como $\ZFC^-$ que es básicamente $\ZFC$ sin el axioma del conjunto de potencias (pero véase mi reciente artículo, ¿Qué es la teoría ZFC sin conjunto de energía? para lo que esto significa exactamente), es ampliamente utilizado en la teoría de conjuntos y tiene un enorme número de modelos naturales, incluyendo el universo $H_{\kappa^+}$ en el que cada conjunto tiene una cardinalidad máxima de $\kappa$ y $P(\kappa)$ no existe como un conjunto, sino sólo como una clase. Por ejemplo, en el universo $H_{\omega_1}$ La teoría $\ZFC^-$ se mantiene, y todo conjunto es contable. Este es un universo muy rico para emprender matemáticas clásicas: tienes todos los reales individualmente, pero no se pueden formar en un conjunto; pero sí se pueden considerar funciones (definibles) sobre los reales, etc. Sólo que no se puede sólo que no se pueden juntar todos en un conjunto.

La teoría conocida como Teoría de conjuntos de Kripke-Platek $\text{KP}$ es otra teoría intensamente estudiada, en particular para los que hacen teoría de conjuntos con el universo construible y teoría de conjuntos admisibles y sabiendo lo que se puede probar en $\text{KP}$ y lo que no puede es muy importante en ese ámbito.

Incluso Teoría de conjuntos de Zermelo puede considerarse como una especie de ejemplo, ya que no demuestra la existencia de cardenales incontables más allá de la $\aleph_n$ para $n<\omega$ porque el segmento inicial del universo $V_{\omega+\omega}$ se ve fácilmente que es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo de Zermelo. Así que uno podría contar esto como un caso de una teoría débil que no demuestra un gran número de infinitos diferentes.

Tal vez esta perspectiva de su pregunta revele que hay realmente un continuo de este tipo de respuestas. Los conjuntos realmente débiles como las teorías de $\text{KP}$ y $\ZFC^-$ no puede demostrar ni siquiera que los cardenales incontables existen, pero entonces teorías un poco más fuertes que se convierten en verdades en $H_{\omega_2}$ o $H_{\omega_3}$ puede probar algunos más cardinales incontables. La teoría de Zermelo proporciona más, pero aún así sólo hay muchos cardenales incontables. El $\ZFC$ la teoría, por supuesto, explota con un enorme número de diferentes cardinales incontables.

Pero permítanme decir que este proceso continúa estrictamente más allá $\ZFC$ para que los teóricos de los grandes conjuntos cardinales consideren $\ZFC$ como una teoría débil, precisamente en este sentido, porque no puede no puede demostrar la existencia de cardinales medibles o supercompactos cardinales (y muchos otros), por ejemplo, y por eso hay que seguir subiendo en la jerarquía de los grandes cardinales para obtener los tipos de infinitos que nos gustan. Los teóricos del conjunto consideran teorías a lo largo de la jerarquía de los grandes cardinales cardinales, con las teorías más fuertes dándonos más y más fuertes axiomas del infinito superior.

En cada paso de toda esta jerarquía, empezando por las muy teorías débiles que he mencionado y continuando con la gran jerarquía cardinal hay afirmaciones fundamentales de la teoría de conjuntos que son demostrables por la teoría más fuerte pero no demostrables por la teoría más débil.

Mientras tanto, a pesar de que algunos objetos matemáticos cotidianos objetos matemáticos cotidianos tienen cardinalidades incontables distintas (y por eso las teorías de conjuntos no pueden demostrar su existencia), sin embargo es bastante sorprendente lo cerca que se puede llegar a una aproximación sólo en teoría de los números de segundo orden, donde en cierto sentido todo objeto es contable. El trabajo de matemáticas inversas generalmente tiene lugar en el contexto de la teoría de números de segundo orden, y busca encontrar exactamente la teoría necesaria para demostrar cada uno de los teoremas clásicos de las matemáticas. (Así, tratan de demostrar los axiomas a partir del teorema, y no al revés). Tienen numerosos ejemplos de qué teoremas clásicos se pueden demostrar y exactamente qué teoría (¡probable!) necesitas para hacerlo.

Answer 2

Podría echar un vistazo al siguiente preprint de A.D.R. Mathias: "Strong Statements of Analysis". Este artículo trata de las mismas preocupaciones que usted parece tener con respecto a la aplicabilidad de los infinitos superiores a las matemáticas ordinarias. En este trabajo, Mathias trata los siguientes cuatro enunciados del análisis, todos ellos "clásicos" (esto puede ser una cuestión de opinión, pero Mathias argumenta que es así):

(A) Todo conjunto coanalítico incontable ( $\mathbf {\Pi}^{1}_1$ conjunto) tiene un conjunto perfecto no vacío.

(B) Toda analítica ( $\mathbf {\Sigma^{1}_1}$ ) se determina el número de juego.

(C) Cada $\mathbf {\Sigma^{1}_2}$ conjunto es universalmente Baire.

(D) Cada $\mathbf {\Sigma^{1}_2}$ se determina el número de juego

Mathias lo demuestra (aunque no directamente, ya que se trata de un artículo de encuesta, sino señalando las referencias donde se pueden encontrar las pruebas de las afirmaciones):

La afirmación A se cumple si y sólo si para cada $\alpha$$ \en $ $ |mathscr N $, the true $ \N - 1 $ is a strongly inaccessible cardinal in $ L[\alpha]$.

La afirmación B es equivalente a la afirmación de que todo real tiene un agudo.

La afirmación C es equivalente a la afirmación de que todo ordinal tiene un agudo.

El enunciado D es equivalente a la siguiente afirmación: $\forall$$ \N - Alfa $:$ \en $$\mathscr N$$ \existe $ $ \zeta $:$ \N - El $$\omega_1$$ \existe $$S$ : $\subseteq$$ \zeta $ $ \N - Alfa $$\in$$ L[S] $&$ ( $${\zeta}$ $is$ $a$ $Woodin$ $cardinal$$ )^{L[S]}$.

Algunas citas más sobre las afirmaciones A--D de su documento pueden ser también de ayuda para usted:

"Este enunciado [el enunciado D--mi comentario] es más llamativo que el equivalente al enunciado A, ya que esta vez son los ordinales contables los que se comportan como grandes cardinales en ciertos modelos internos, en lugar de sólo $\omega_1$ .

Así que los cardenales pequeños podrían tener cardenales grandes en ciertos modelos internos. Nótese que en los cuatro enunciados se está demostrando una equivalencia, no sólo una equiconsistencia; y en todos, excepto en el caso C, uno de los enunciados es una simple afirmación puramente sobre números reales. Así, los ejemplos anteriores muestran la necesidad de introducir propiedades de los grandes cardinales en las matemáticas."

Answer 3

En consonancia con la respuesta de Joel y el tema de que las teorías de conjuntos más sólidas permiten un análisis más fino de los infinitos superiores, un ejemplo del álgebra conmutativa que sugiere la conveniencia de distinguir más de tres clases amplias de cardinales es (debido en su forma final a Eda):

$Hom(\mathbb{Z}^\kappa / \mathbb{Z}^{<\omega}, \mathbb{Z}) \neq \lbrace 0 \rbrace$ si y sólo si existe un $\omega_1$ -completar el ultrafiltro no principal en $\kappa$ .

Si la clase $\lbrace \kappa : Hom(\mathbb{Z}^\kappa / \mathbb{Z}^{<\omega}, \mathbb{Z}) \neq \lbrace 0 \rbrace \rbrace$ es no vacía dependerá de si existen cardinales medibles.

Un ejemplo de la teoría de la medida se refiere al teorema de Fubini, un resultado central de las matemáticas básicas. En 1990, Joseph Shipman demostró (siguiendo los resultados de Harvey Friedman sobre los teoremas de tipo Tonelli) que las versiones fuertes son demostrables una vez que existen cardinales medibles de valor real:

J. Shipman, Cardinal conditions for strong Fubini theorems, TAMS 1990

Answer 4

¿Esta creencia errónea entraría en conflicto con algún teorema importante del análisis, el álgebra o la geometría? ¿Habría algún campo de las matemáticas -fuera de la teoría de conjuntos- que fuera claramente incompatible con su suposición?

Hay teoremas naturales en el análisis que ni siquiera puedes enunciar bajo tus supuestos. Hay teoremas naturales en el análisis y el álgebra que todavía se pueden enunciar, pero que ya no se pueden demostrar. En el caso de la geometría, depende un poco de lo que se considere que pertenece a la geometría.

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Sin embargo, un verdadero malentendido es que supones que el propósito de la teoría de conjuntos sería describir todas las colecciones (y ureles) que realmente existen o podrían existir. La entrada sobre Teorías alternativas de conjuntos axiomáticos de Randall Holmes en la Stanford Encyclopedia of Philosophy podría ayudar a comprender mejor el papel de las teorías de conjuntos en los fundamentos de las matemáticas desde un punto de vista todavía bastante matemático.

La teoría de conjuntos proporciona un universo ordenado en el que se puede razonar matemáticamente. A menudo es necesario limitar el tamaño del universo de alguna manera para garantizar cierto orden, pero el tamaño no es el único factor. Un texto filosófico como Sobre lo que hay por Willard Van Orman Quine puede hacerte sentir por qué considerar cada colección potencialmente existente (o urelemento) sería un caldo de cultivo para elementos desordenados:

El universo superpoblado de Wyman es, en muchos sentidos, poco encantador. Ofende el sentido estético de quienes tenemos gusto por los paisajes desérticos, pero esto no es lo peor. El tugurio de posibles de Wyman es un caldo de cultivo de elementos desordenados. Tomemos, por ejemplo, el posible hombre gordo en esa puerta; y, de nuevo, el posible hombre calvo en esa puerta. ¿Son el mismo hombre posible o dos hombres posibles? ¿Cómo lo decidimos? ¿Cuántos hombres posibles hay en esa puerta? ¿Hay más posibles delgados que gordos? ¿Cuántos son iguales? ¿O el hecho de ser iguales los convierte en uno? ¿No hay dos cosas posibles iguales? ¿Es lo mismo que decir que es imposible que dos cosas sean iguales? O, por último, ¿es el concepto de identidad simplemente inaplicable a los posibles no actualizados? Pero, ¿qué sentido tiene hablar de entidades de las que no puede decirse con sentido que sean idénticas a sí mismas y distintas entre sí? Estos elementos son casi incorregibles. Mediante una terapia fregeana de los conceptos individuales, podría hacerse algún esfuerzo de rehabilitación; pero creo que haríamos mejor simplemente en limpiar el tugurio de Wyman y acabar con él.

Answer 5

"Sin embargo, digamos que concluyes que sólo hay tres tipos de cardinalidad: finita, contablemente infinita e incontable".

Así que consideremos los ordinales contables, y ciertos principios combinatorios relativos a ellos. Estos provienen de Harvey Friedman (en este caso de su borrador preliminar (1995) "Combinatorial Set Theoretic Principles of Great Logical Strength" que se encuentra en su página web).

En primer lugar, algunas definiciones preliminares de su informe:

Definición. Sea $j$ : $\beta$$ \N - Flecha derecha $$\beta$ , donde $\beta$ es un ordinal. Sea $R$$ |subseteq $ $ \N - Alfa $ x $ \N - Alfa $, where $ \N-beta $$\le$$ \N - Alfa $. We define $ j $[$ R $]={$ j $(c),$ j $(d): $ R $(c,d)}. we say that $ j $ is a nonidentity function if and only if $ j $ is not the identity function on $ \N -beta.$

Definición. Sea $F$ : $\alpha$ x $\alpha$$ \N - Flecha derecha $$\alpha$ . Para $\beta$$ \N - El $$\alpha$ escribimos $F$$ \N-beta $ for the restriction of the cross section of $ F $ to $ \N-beta $; i.e., $ F $$\beta$ (c)=d si y sólo si c $\lt$ b y $F$ (b,c)=d. [Nota: en caso de que b= $\beta$ en esta definición -mi comentario]

$LCA_1$ . Existe una incrustación elemental no trivial de $V$$ \N - Flecha derecha $$M$ tal que $V$ ( $\alpha$ ) $\subseteq$$ M $, where $ \alpha$ es el primer punto fijo por encima del punto crítico.

$LCA_2$ . Existe una incrustación elemental no trivial de un rango en sí mismo.

Aquí $LCA$ significa "gran axioma cardinal".

Los principios combinatorios relevantes para los ordinales contables son $P_4$ ( $\alpha$ ), $A_4$ y $A_5$ . Estas son sus definiciones:

$P_4$ ( $\alpha$ ). Existe $F$ : $\alpha$ x $\alpha$$ \N - Flecha derecha $$\alpha$ tal que para cada $R$$ |subseteq $$\alpha$ x $\alpha$ que es construible a partir de $F$ hay una no-identidad $F$$ \N-beta $:$ \N-beta $$\rightarrow$$ \N-beta $, $ \N-beta $$\lt$$ \N - Alfa $, such that $ F $$\beta$ [ $R$ ] $\subseteq$$ R$.

$A_4$ . $P_4$ ( $\alpha$ ) es válida para un número contable de $\alpha$ .

$A_5$ . Existe una función contable de la forma $F$ : $\alpha$ x $\alpha$$ \N - Flecha derecha $$\alpha$ de tal manera que para toda persona sin límites $R$$ |subseteq $$\alpha$ x $\alpha$ que es definible en primer orden en ( $\alpha$ , $\lt$ , $F$ ), algunos $F$$ \N-beta $ is a nontrivial injection (embedding) of a proper initial segment of $ R$.

Ahora, los teoremas pertinentes, que se exponen sin pruebas en el informe (puede enviar un correo electrónico al profesor Friedman y pedirlos...):

Teorema 5. $ZFC$ $+$ $LCA_1$ implica $A_4$ . $ZF$ $+$ $A_4$ implica la existencia de una clase transitiva que contiene todos los ordinales y que satisface $ZFC$ $+$ $LCA_2$ .

Teorema 6. $ZFC$ $+$ $LCA_1$ implica $A_5$ . $ZF$ $+$ $A_5$ implica la existencia de un modelo transitivo de $ZFC$ $+$ $LCA_2$

Otro informe preliminar de Friedman que también puede resultar interesante es "Extremely Large Cardinals in the Rationals". Tiene resultados algo similares a estos.