Determinación de una superficie en$\mathbb{R}^3$ por su curvatura gaussiana

Question

Una curva en el plano se determina, hasta la orientación de la preservación de la Euclídeo los movimientos, por su curvatura de la función, $\kappa(s)$. Aquí está uno de mis ejemplos favoritos, de Alfred Gray libro, La moderna Geometría Diferencial de Curvas y Superficies con Mathematica, p.116:
              

Q1. Hay un teorema análogo que indica que la superficie en $\mathbb{R}^3$ se determina (en algún sentido) por su curvatura de Gauss?

Sé que tal reconstrucción camino (curvatura $\rightarrow$ de la superficie) es necesario en la visión por computador, y por tanto, hay algoritmos de aproximación, pero no sé lo que es el preciso teorema que subyace a este trabajo.

Q2. Hay más dimensiones de las generalizaciones, la determinación de un Riemann colector por su tensor de curvatura?

No tengo ninguna duda de que esto es de todos bien conocido para la llaman los conocedores, en cuyo caso, una referencia sería suficiente. Gracias!

Addendum (4Oct11). Me permite aumentar esta pregunta con un de referencia de la que afloja la noción de "determina" y mis respuestas a Q1 con esa noción reemplazado por "encontrar a algunos". El papel de Gluck, Krigelman, y la Cantante, titulado "La situación inversa a la de Gauss-Bonnet Teorema de la PL" J. Diff. Geom, 9(4): 601-616, 1974plantea esta pregunta:

Supongamos que un cerrado suave de dos colector $M$ y un suave real, la función con valores de $K \;:\; M \rightarrow \mathbb{R}$ son dadas, y que a uno se le pide encontrar una métrica de Riemann para $M$ tener $K$ como la curvatura Gaussiana. [...] Con estas restricciones en $K$ [sólo elide], el problema ha sido resuelto para todos cerrada suave de dos colectores por: Melvyn Berger [...], de Gluck [...], Moser [...], Kazdan y Warner [...]. Recientemente Kazdan y Warner han obtenido una solución uniforme. El problema para el compacto de dos colectores con el límite, sin embargo, parece que no ha sido abordado en el buen categoría.

El MathSciNet revisión de este documento fue escrito por Gromov.

Answer 1

No estoy seguro de lo que quieres decir por "determinar". Un natural de la noción de equivalencia es para dos superficies a ser relacionados por un ambiente isometría (un euclidiana de movimiento).

Un resultado básico es que las dos superficies en $\mathbb{R}^3$ están relacionados por una isometría de $\mathbb{R}^3$ si y sólo si su primera y segunda formas fundamentales de acuerdo.

La débil condición es que de isometría. Dos superficies son isométrica si sus primeras formas fundamentales de acuerdo. De Gauss, Theorema Egregium dice que isométrica superficies tienen la misma curvatura de Gauss, pero el recíproco no es cierto: hay ejemplos de superficies con la misma curvatura de Gauss, pero que no son isométricos.

En la dimensión $\geq 4$ Kulkarni en su papel de Curvatura y Métrica mostró que un diffeomorphism que conserva la curvatura seccional es una isometría, excepto posiblemente en el caso de la constante de la sección transversal de la curvatura. En la dimensión $\leq 3$ hay contraejemplos que se mencionan en su papel.

Answer 2

Los asociados a la familia de un mínimo de superficie da una tangibles contraejemplo. La representación de Weierstrass le permite cocinar una conformemente con parámetros de la superficie mínima de un par de meromorphic $f \sqrt{dz}$, $g \sqrt{dz}$.

La parametrización es el dado por $$F(x,y) = Re\int_0^{x+iy} (f^2 - g^2, i(f^2 + g^2), 2 fg) ~dz$$

El mapa normal de $F$ puede ser obtenida por el pensamiento de $g/f$ como un mapa de la esfera de Riemann, y la métrica inducida por $F$ es sólo $4(|f|^2 + |g|^2)^2 |dz|^2$. A partir de estos datos, usted puede cocinar la de Gauss y la media de las curvaturas, y que pasa a ser cierto que si $f \sqrt{dz}$ e $g \sqrt{dz}$ son meromorphic, se obtiene una superficie mínima.

Pero, a continuación, considere lo que sucede si se multiplican ambos $f$ e $g$ por $e^{i \theta}$ --- el mapa normal y la métrica son tanto sin cambios, y $e^{i\theta} f \sqrt{dz}, e^{i\theta} g \sqrt{dz}$ son todavía bastante meromorphic, por lo que obtener una nueva superficie mínima que es isométrico a su viejo. Esto significa que usted ha hecho una nueva superficie cuya principal curvaturas de acuerdo con tu vieja!

Creo que la moraleja aquí es que aun sabiendo la métrica y el conjunto completo de los principales curvaturas no es suficiente para reconstruir una superficie --- la curvatura de las direcciones también son datos vitales.

Para ver todo esto en acción, este es un video con música extraña que muestra la helicoidal en la transformación de la catenoid, que comienza con el de Weierstrass de datos para la catenoid y, a continuación, multiplica por $e^{i \theta}$, con $\theta$ aumentando a medida que la película avanza. Cada una de las superficies es isométrico a la catenoid! Pero ¿ tienen distintas segunda formas fundamentales.

Answer 3

No hay una respuesta satisfactoria a Q1 si se limita a superficies convexas: una forma de estado, la pregunta es, entonces, como la de Minkowski problema. Es decir, se elige una función positiva $k$ sobre la esfera y busca una superficie de $S$ en $R^3$ con curvatura de Gauss $k(n)$ en el punto donde la unidad vector normal es $n$. Este problema fue resuelto en la década de los 50', véase el Examen de Matemáticas de MR0058265 (15.347 árbol b) Nirenberg, Louis El Weyl y Minkowski problemas en la geometría diferencial en la grande. Comm. Pure Appl. De matemáticas. 6, (1953). 337-394. En las cotas más elevadas usted todavía puede jugar el mismo juego, para convexo hypersurfaces (o a veces el uso de una forma más débil de la convexidad) y encontrar uno con lo prescrito "curvatura", donde la curvatura puede ser simétrica de la función de los autovalores de la forma del operador. Por ejemplo, el determinante de la forma del operador, que corresponde a la de Minkowski problema en una dimensión mayor, que también fue resuelto en la década de los 50', pero no es exactamente lo que usted está pidiendo en la Q2.

Answer 4

En lugar de Q2, voy a responder a la siguiente pregunta:

Hay más dimensiones de las generalizaciones, la determinación de un submanifold en $\mathbb R^q$.

Sí, hay algunos análogos, pero estoy seguro de que no los necesitan.

Funcionan bien para el $n$-dimensiones submanifolds en $\mathbb R^{n{\cdot}(n+3)/2}$. (curvas en $\mathbb R^2$, las superficies en $\mathbb R^5$ y así sucesivamente). En lugar de natural parametrización recordar tensor métrico $g$; lo cual es un grado 2 polinomio homogéneo en el espacio de la tangente. En lugar de curvatura de recordar el siguiente grado 4 polinomio homogéneo $h(X)=|s(X,X)|^2$ donde $s\colon T\times T\to N$ es la segunda forma fundamental (para dos vectores tangente $X$ e $Y$ el valor de $s(X,Y)$ es un vector normal).

Las pruebas son las mismas que Frenet–Serret fórmulas. Usted puede encontrar en el libro de Spivak.

Answer 5

En la sección 4.5 de su gran libro sobre la geometría de Riemann, Berger tiene una discusión sobre la cuestión de en qué grado (y en qué sentido) la curvatura determina la métrica. Él cita el siguiente teorema por Cartan en el caso bidimensional.

Dadas dos superficies de Riemann métricas, por lo que las funciones $K$ e $\|dK\|^2$ tienen todas partes independientes diferenciales, un mapa entre estas superficies es una isometría, precisamente, cuando se conserva de las cuatro funciones \begin{eqnarray} I_1 &=& K\\ I_2 &=& \|dK\|^2\\ I_3 &=& \langle dK,dI_2\rangle\\ I_4 &=& \|dI_2\|^2 \end{eqnarray} [donde $K$ es la curvatura de Gauss.]