¿Cuál es la situación del sexto problema de Hilbert?

Question

Como saben, el Sexto problema de Hilbert era axiomatizar la física. Según el artículo de Wikipedia, hay algunos éxitos parciales en este campo. Por ejemplo, Mecánica clásica creo que puede ser tratada ahora como una disciplina axiomatizada ya que está debidamente formalizada en el teorías modernas de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana (y como corolario, se puede considerar como un extensión por definición de la teoría de los números reales, que a su vez es una extensión por definición de la teoría axiomática de conjuntos -- y eventualmente todas estas teorías pueden ser tratadas como teorías de primer orden).

No soy un especialista, pero el Teoría de la relatividad parece que también se ha formalizado en términos de geometría diferencial (¿es correcto?). Por otro lado, como entendimos no hace mucho tiempo El La mecánica cuántica no está axiomatizado. A menudo discuto esto con mis colegas y estudiantes, por lo que creo que es una cuestión importante, merece una especificación y aclaración, el artículo de Wikipedia es demasiado corto, debe ser detallado. Creo que hay personas aquí que pueden explicar claramente

qué partes de la física están axiomatizadas ahora y cuáles no.

A efectos educativos (y estoy seguro de que esto también será interesante para los especialistas) sería bueno tener una lista de estas disciplinas. En los debates en la web, por ejemplo, en el discusión en MathStackExchange No veo esta lista. Si es posible, pido a los especialistas que compartan sus conocimientos. No es necesario enumerar todas las disciplinas en una respuesta, cada respuesta puede dedicarse a una disciplina, sólo pido a la gente que dé las referencias necesarias y proporcione algunas explicaciones elementales (por supuesto, las respuestas detalladas son mejores) para que los no especialistas (y los estudiantes) puedan entender.

Gracias.

EDITAR. De la respuesta de Ben Crowell deduzco que hay cierta discrepancia en la comprensión de lo que significa el 6º problema de Hilbert: algunos lo interpretan como una sugerencia para construir un teoría de primer orden de una disciplina física dada (esto significa, construir una "teoría completamente nueva", formalmente independiente de las otras matemáticas, con su propio lenguaje lógico -- como en las modernas teorías de conjuntos, ZF, NBG, MK, que son los ejemplos estándar de las teorías de primer orden), mientras que otros interpretan esto más ampliamente, como una posibilidad de dar cualquier sistema de axiomas, no necesariamente de primer orden (esto puede entenderse como la construcción de una extensión por definición de otra teoría de primer orden ya construida -- y los ejemplos estándar son Los axiomas de Hilbert de la geometría euclidiana , Los axiomas de la teoría de la probabilidad de Kolmogorov etc.). En cuanto a mí, no veo razones serias para limitarnos a las teorías de primer orden: los "axiomas como definiciones" son bastante satisfactorios, es más, diría que son preferibles, ya que no desvían la atención de la parte esencial del problema (a los detalles con el nuevo lenguaje de la lógica, etc.). En realidad, si miramos el problema desde este punto de vista "práctico", no veo la diferencia entre la "axiomatización" y la "formalización", por eso me referí a los libros de V.I.Arnold y A.L.Besse desde el principio.

Referencias:

V.I.Arnol'd, Métodos matemáticos de la mecánica clásica

A.L.Besse, Múltiples de Einstein

Answer 1

qué partes de la física están axiomatizadas ahora y cuáles no.

Como ejemplo, se han formalizado algunos fragmentos bastante grandes de la física clásica.

Una parte importante de los Principia de Newton ha sido formalizada por Fleuriot y Paulson utilizando el asistente de pruebas Isabelle.

La relatividad general es bastante trivial de formalizar, básicamente porque la RG no es tanto una teoría en sí misma como un marco en el que se pueden insertar otras teorías. Si se quiere una formalización concisa, no es mucho más que esto: el espaciotiempo es una variedad diferenciable de Hausdorff y viene equipada con una métrica no degenerada (normalmente se supone que tiene la firma +---). Puedes añadir las ecuaciones de campo de Einstein, pero en una formulación puramente matemática restringida a la propia RG, son vacuas o funcionan sólo como una definición del tensor de tensión-energía, porque la propia RG no dice absolutamente nada sobre el tensor de tensión-energía o los campos de materia. Tal vez quieras añadir algunas condiciones subsidiarias sobre la integrabilidad y diferenciabilidad de la métrica, como se discute en Hawking y Ellis, p. 58. Hawking y Ellis también dan algunos otros axiomas en las páginas 60 (causalidad) y 61 (conservación local de la energía-momento), pero de nuevo, estos postulados se vuelven vacíos a menos que se introduzca una teoría separada para los campos de materia. Para un enfoque diferente de la formalización de la relatividad especial y general, véase Andreka.

¿Cuál es la situación del sexto problema de Hilbert?

Creo que estos dos ejemplos pueden ayudar a aclarar por qué el sexto problema de Hilbert no es realmente muy interesante en un contexto moderno. Hilbert operaba en una época victoriana de optimismo sobre la física, en la que se creía que estábamos muy cerca de comprender todas las leyes fundamentales de la naturaleza, y todo lo que hacía falta era un poco más de limpieza e investigación de los detalles. Totalmente equivocado. La física resultó ser mucho más complicada de lo que él pensaba, y todo lo que poseemos hoy es un montón de piezas de una teoría del todo (ToE). Estas piezas a veces encajan bien, pero en otros casos no, como en el caso de la gravedad cuántica. Dado que la escala de Planck es inaccesible para cualquier tecnología humana previsible, es probable que, incluso dentro de varios siglos, nunca tengamos una TdE que pueda ponerse a prueba mediante experimentos. Sólo una vez que tengamos una TdE tendría sentido preocuparse por el sexto problema de Hilbert (y en ese momento sospecho que sería trivial y de poco interés llevarlo a cabo).

Hilbert buscaba la certeza absoluta en el universo, y trabajaba antes que Godel. Una pregunta secundaria interesante es si, dada una TdE y su formalización, podríamos hacer algún tipo de procedimiento de decisión para la física. La respuesta no está muy clara, porque la teoría de la que hablamos podría no describir lo suficiente la aritmética como para que se apliquen los teoremas de Godel. Después de todo, la RG es básicamente un tipo de geometría, y Tarski escribió un procedimiento de decisión para la geometría euclidiana. En cualquier caso, no tendríamos una certeza absoluta, porque la propia TdE se basaría en experimentos y, por tanto, estaría sujeta a revisión.

Referencias

Andreka et al., "Sobre el análisis lógico de las teorías de la relatividad". pdf , Revista Filosófica Húngara, 2010/4, pp.204-222

Fleuriot y Paulson, "A combination of nonstandard analysis and geometry theorem proving, with application to Newton's Principia," pdf Lecture Notes in Computer Science 1421 (2006) 3.

Hawking y Ellis, "La estructura a gran escala del espacio-tiempo"

Answer 2

Lo siguiente puede ser útil:

Corry, Leo David Hilbert y la axiomatización de la física (1898-1918). De los Grundlagen der Geometrie a los Grundlagen der Physik. Arquímedes: Nuevos estudios de historia y filosofía de la ciencia y la tecnología, 10. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2004. xvii+513 pp. ISBN: 1-4020-2777-X.

A continuación, la reseña del documento extraída de mathscinet:

Se trata de un enorme libro académico sobre la obra de David Hilbert en la física. En más de 400 páginas, el autor nos ofrece un análisis en profundidad de las contribuciones fundamentales de este científico nacido en las matemáticas a muchas ramas de la física, desde la teoría de la radiación hasta la termodinámica, pasando por la mecánica y la relatividad.

El método crucial identificado por el autor como el rasgo de unión de toda la obra de Hilbert en física es la idea de "axiomatización'', de poder deducir la multiplicidad de hechos y consecuencias matemáticas/físicas de una teoría física a partir de un conjunto limitado pero suficiente y consistente de proposiciones y supuestos básicos. Desde este punto de vista, como sugiere el propio autor, el trabajo de Hilbert en física es la continuación natural de sus logros anteriores y contemporáneos en matemáticas puras, sobre todo en los fundamentos de la geometría. En esta preferencia metodológica subyace la lucha por la claridad, la concisión, la belleza matemática y la coherencia que caracterizaba a Hilbert como matemático, y que era una muestra de su genio.

Es en el desarrollo de la relatividad donde Hilbert desempeñó un papel más importante e influyente, y donde las ideas de Hilbert sobre los fundamentos de la física pueden verse más claramente, en lo que respecta a sus contribuciones a la física. En consecuencia, el núcleo del libro está representado por los 3 últimos capítulos que tratan de los trabajos de Hilbert sobre la teoría de la gravitación y su contribución a la Relatividad General de Einstein, partiendo de la influencia que ejercieron sobre él tanto Einstein como el trabajo de Mie, pasando por un relato detallado de la propia formulación de Hilbert de la teoría de la gravitación, tras su interacción con Einstein (se ha escrito mucho sobre esta interacción y el autor analiza las pruebas históricas de la misma con gran cuidado), para terminar con el último trabajo de Hilbert sobre la Relatividad General que data de 1918.

Se trata de un tema complejo, pero también fascinante, dado que lo que el autor retrata maravillosamente es una de las mejores mentes de la historia de la ciencia, una figura señera tanto de la física como, aún más, de las matemáticas, luchando por conseguir la comprensión de uno de los aspectos más esquivos de la naturaleza: la gravitación, finalmente (aunque sea de forma provisional, como siempre en la ciencia) obtenida gracias a la formulación de una de las más bellas teorías físicas que los humanos hemos sido capaces de producir: la Teoría General de la Relatividad. Como es de esperar, dada la complejidad del tema, este libro no es de fácil lectura, ya que el autor trata de abarcar todo el desarrollo histórico de la obra de Hilbert, al tiempo que intenta explicar las matemáticas y la física implicadas en este desarrollo, junto con el trabajo de otros ilustres científicos que, o bien contribuyeron de forma significativa al área de investigación considerada, o bien influyeron en el trabajo de Hilbert al respecto: en particular, Minkowski, Born, Mie y Einstein.

El autor no se abstiene de detenerse en ningún pequeño aspecto de la historia, ya sea matemático, físico, histórico, personal o social, y, si esto contribuye a las dificultades que el lector puede encontrar al recorrer este libro, al mismo tiempo esto contribuye también al placer que el mismo lector puede encontrar al descubrir las muchas facetas que el desarrollo de la obra de Hilbert presentó, las mismas facetas que el lento y difícil progreso de la ciencia muestra en la vida real. Como todo científico sabe demasiado bien, la intuición, el genio, los juicios erróneos, los prejuicios, el entorno social, las tendencias científicas, las conversaciones y peleas con los colegas científicos, el duro trabajo en solitario, la ayuda de los demás, la pasión, la comprensión y los malentendidos, la ambición, los cálculos precisos y las ideas esquemáticas, todo ello contribuye al desarrollo de la ciencia, y en ningún lugar queda más clara esta asombrosa complejidad de una empresa tan humana como en el análisis minucioso de la historia de cualquier logro de investigación, tal y como nos lo ha enseñado una generación de filósofos de la ciencia, desde Popper hasta Kunh, desde Lakatos hasta Feyerabend, y como nos lo revela una vez más el presente libro.

Si hay que hacer una crítica a este libro, ésta es que la discusión de los conceptos y resultados físicos y matemáticos no siempre es precisa, oscilando a veces entre ser un poco confusa o desconcertante y ser, en muy pocas ocasiones, sencillamente errónea. Sin embargo, la reconstrucción histórica, que era el principal objetivo del autor, se hace, por el contrario, con extrema competencia y cuidado, y es, en mi opinión, de la máxima calidad.

Answer 3

El trabajo de John Baez sobre Física y Teoría de Categorías, ver

Categorías, cuantificación y mucho más

Answer 4

Hice un trabajo que tuvo bastante éxito al axiomatizar (¡perdón por el abuso gramatical!) los principales operadores hamiltonianos para todas las teorías cuánticas finitas. Mi colaborador fue capaz de extender la metodología a grupos de operadores continuos. La conclusión básica fue encontrar una ecuación cuántica braquistócrona -esencialmente la ecuación de Heisenberg para el hamiltoniano + restricción- y mostrar que todos los grupos matriciales físicos se daban como soluciones. Así que, en esa medida, diría que el problema de Hilbert 6º ha sido abordado para la mecánica cuántica, ya que todas las matrices hamiltonianas observadas en SU(2), SU(3),..., SU(N) para N finito salen como soluciones naturales a través de este método, y junto con el caso de dimensión infinita, todos los ángulos están cubiertos y cerrados.

El vínculo esencial era afirmar que la trayectoria del flujo en la variedad proyectiva compleja estaba definida por un Lagrangiano que implicaba un principio de tiempo mínimo bajo restricciones energéticas.

La mecánica cuántica puede parecer bastante esotérica, y créanme cuando digo que mi profesor no era un gran fan de que el primer paso fuera la derivación del operador hamiltoniano a partir de los primeros principios. La mayoría de los libros de física cuántica se limitan a suponer que tiene una u otra forma. Personalmente, me parece mejor derivar que suponer.

Si hay algún interés en explorar este tema, estaré encantado de subir algunas referencias a algunos documentos y continuar la discusión.

Answer 5

Teoría cuántica de campos topológicos -Atiyah

La definición de la teoría de campos conformes-Segal

Ambos describen la estructura de la asignación de espacios vectoriales a los cortes de tiempo y los mapas lineales para el cobordismo del espaciotiempo. Hay distinciones para las estructuras en collares y cobordismos.