¿Aplicaciones inesperadas de la teoría de los números trascendentales?

Question

En las últimas páginas de "Equations Différentielles à points singuliers réguliers", Deligne proporciona una demostración, atribuida a Brieskorn, de la llamada teorema de la monodromía local (sobre la cuasi-unipotencia del operador de monodromía que actúa sobre la cohomología de una familia degenerada de variedades algebraicas complejas).

El argumento utiliza la compatibilidad de cambio de base y la regularidad de la conexión Gauss-Manin para reducir el problema a la siguiente afirmación: si $M$ es una matriz cuadrada compleja tal que, para cada automorfismo de campo $\sigma$ de $\mathbb{C}$ , $\exp(2\pi i M^{\sigma})$ se conjuga con una matriz con coeficientes enteros, entonces $\exp(2\pi i M)$ es cuasi-unipotente. Esto, a su vez, es una simple consecuencia de Teorema de Gelfond-Schneider ¡!

Esta prueba siempre me ha parecido bastante sorprendente y me preguntaba si no hay otras aplicaciones inesperadas de los números trascendentales por ahí.

Answer 1

He aquí una aplicación de la teoría de los números trascendentales a la geometría diferencial que creo que sería inesperada para todos, excepto para un pequeño grupo de expertos en la materia (que probablemente verían la aplicación como algo muy natural).

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico real absolutamente simple conectado y $\mathcal G=G(\mathbb R)$ el correspondiente grupo de Lie real. Llamaremos $\mathcal G$ absolutamente simple . Dejemos que $\mathcal K$ sea un subgrupo compacto máximo de $\mathcal G$ y $\mathfrak X=\mathcal K\backslash \mathcal G$ el espacio simétrico de $\mathcal G$ .

Si $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son subgrupos discretos de $\mathcal G$ entonces denota por $\mathfrak X_{\Gamma_1}=\mathfrak X/\Gamma_1$ y $\mathfrak X_{\Gamma_2}=\mathfrak X/\Gamma_2$ los espacios localmente simétricos asociados. Decimos que tal espacio localmente simétrico es definida aritméticamente si el correspondiente subgrupo discreto de $\mathcal G$ es aritmética.

En su documento Grupos aritméticos débilmente conmensurables y espacios isoespectrales localmente simétricos Gopal Prasad y Andrei Rapinchuk demuestran una serie de resultados interesantes sobre la teoría espectral de dichos espacios localmente simétricos, por ejemplo:

Teorema (Prasad y Rapinchuk) Dejemos que $\mathfrak X_{\Gamma_1}$ y $\mathfrak X_{\Gamma_2}$ sean dos espacios aritméticamente definidos y localmente simétricos del mismo grupo de Lie real absolutamente simple $\mathcal G$ . Si son isoespectrales, entonces la compacidad de una de ellas implica la compacidad de la otra.

Teorema (Prasad y Rapinchuk) Cualesquiera dos espacios isospectrales compactos definidos aritméticamente y localmente simétricos de un grupo de Lie real absolutamente simple de tipo distinto de $A_n (n > 1)$ , $D_{2n+1} (n\geq 1)$ , $D_4$ y $E_6$ son conmensurables entre sí.

Mientras que estos resultados son incondicionales para espacios localmente simétricos de rango uno, para espacios de mayor rango los resultados dependen de La conjetura de Schanuel en la teoría de los números trascendentales.

Como mencioné anteriormente, creo que esta aplicación geométrica probablemente sería una completa sorpresa para los no expertos, mientras que para la gente que trabaja en el campo es extremadamente natural, la idea es que el espectro de Laplace de tal espacio está relacionado con el espectro de longitudes geodésicas (por resultados de Duistermaat y Guillemin), y las longitudes de las geodésicas están a su vez dadas por logaritmos de números algebraicos.

Answer 2

También está la prueba de Simpson de que los puntos aislados de las variedades características de los grupos fundamentales de las variedades proyectivas son de torsión. También se basa en el teorema de Gelfond-Schneider.

El espacio de moduli de las representaciones de esos grupos fundamentales en $\mathbb C^*$ admiten tres estructuras algebraicas/analíticas diferentes. Y en cada una de ellas las variedades características son subespacios algebraicos. Esto le permite utilizar el Teorema de Gelfond-Schneider para describir la naturaleza de los puntos aislados.

Answer 3

Las herramientas de la teoría de la trascendencia han sido cruciales para los avances recientes más significativos en problemas de intersecciones improbables. La estrategia fue ideada por primera vez por Zannier, creo, y ha sido aplicada con gran éxito por Pila y Habegger, por ejemplo aquí: http://arxiv.org/abs/1409.0771 Los autores demuestran algunos casos importantes de la conjetura Zilber-Pink, algunos de ellos incondicionales, otros condicionales a conjeturas de la teoría de la trascendencia. Para la gente que no lo sepa, la conjetura Z-P es una afirmación extremadamente general y muy fuerte en la geometría diofantina. Como ejemplo de su fuerza, Pink ha dado un muy breve argumento que reproduce el Teorema de Faltings asumiendo sólo un caso muy especial de la Conjetura Z-P.

En la monografía de Zannier Algunos problemas de intersecciones improbables en aritmética y geometría se puede encontrar una gran introducción a estos problemas, así como algunas indicaciones de las aplicaciones desde la teoría de la trascendencia. Las técnicas de trascendencia también se discuten en algunos de los apéndices (por David Masser).

Muy Hablando vagamente, la estrategia consiste en acotar la altura de los elementos de un conjunto que se quiere demostrar que es finito, digamos, que vive dentro de alguna variedad abeliana, mirando la preimagen bajo el mapa canónico que envía $\mathbb{C}^g$ a su variedad abeliana. Contar puntos aquí requiere técnicas de la teoría de la trascendencia y de la teoría de modelos (estructuras o-minimales), porque las cosas que estás viendo tienen "partes trascendentales" que deben ser tratadas cuidadosamente.