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¿Qué es la "Teoría de Teichmüller" y su historia?

¿Qué es la "Teoría de Teichmüller"? ¿Qué parte se ha trabajado la / lo previsto por O. Teichmüller de sí mismo y de lo que es el desarrollo más? ¿Hay algún trabajo que puede ser considerado como la continuación y finalización de esta teoría?

De fondo La pregunta podría ser visto como demasiado ingenuo y pueden ser respondidas por google o la Wikipedia, pero lo tengo en mente para un largo tiempo y no creo que es muy simple. Permítanme explicar lo que es desconcertante mí: Teichmüller espacio está muy cerca del espacio de moduli de superficies de Riemann ("El espacio de Teichmüller es el universal que cubre orbifold de la (Riemann) espacio de moduli.") y la lectura de algunas fuentes me hacen la expresión de que "la Teoría de Teichmüller" es todo lo que se relaciona con el espacio de moduli de superficies de Riemann. ¿Es realmente así ? Si es cierto que no me parece buen nombre ya que la "teoría" debe ser algo que no es tan diversas como la investigación actual sobre los módulos de espacios de superficies de Riemann.

Por otro lado lo que he oído acerca de la contribución de Teichmüller a sí mismo - es la introducción de la Teichmüller métrica por medio de quasiconformal mapas. (Ver Wikipedia). Es hermoso, pero es una especie de "teorema", no de "teoría", así que probablemente hay algo más? que me estoy perdiendo?

La pregunta podría ser considerado como antecedente de Lo que son algunas de las Aplicaciones de la Teoría de Teichmüller?

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Chris Puntos 165

Primero que todo, permítanme recomendar un libro: J. Hubbard, Teichmuller teoría, vol. 1. Permítanme enumerar brevemente Teichmüller la propia contribución a la Teichmuller teoría. Bers los papeles de 1960-s son buenas fuentes primarias. Los pocos papeles de Teichmüller mismo que he leído son también emocionante, pero mis pobres conocimientos de alemán no me lo permite leerlos todos.

Quizás la principal aportación es la introducción de Teichmuller del espacio (en lugar de la mucho más complicado espacio de moduli). Es simplemente conectado! La segunda aportación principal es la definición de la Teichmuller métrica en este espacio. La métrica se define utilizando una solución de un extremal problema: encontrar un quasiconformal homeomorphism en un homotopy clase con menor dilatación. Este tipo de problemas en el plano dominios, que fueron los primeros considerado por Grötzsch. Teichmüller la contribución de la era a) considerando que en el compacto de las superficies de Riemann, y b) describir el extremal mapa en términos de un cierto diferencial cuadrática. Él también estableció la existencia y unicidad de la extremal de asignación con una muy argumento original.

Teichmuller distancia se define como $(1/2)\log K$, donde $K$ es el extremal la dilatación.

Teichmüller murió joven (fue asesinado o MIA en el frente Oriental, en algún lugar cerca de Kiev en 1943), y muchos de sus principales documentos contienen una gran cantidad de argumentos heurísticos.

El tema fue desarrollado por Ahlfors y Bers en 1950-s. Ellos rigurosamente introducido la estructura analítica de Teichmuller espacios, y ha demostrado, en particular, que la Teichmuller el espacio de las superficies de género $g>1$ es isomorfo a un dominio en $C^{3g-3}$ que es homeomórficos a $R^{6g-6}$. Ellos identificaron la cotangente del espacio como un espacio de diferenciales cuadráticas. Más tarde Royden demostrado que el Teichmuller distancia coincide con el de Kobayashi distancia.

La técnica crucial de la herramienta, de la existencia y de la analítica de la dependencia de los parámetros de el homeomórficos solución de la ecuación de Beltrami con $L^\infty$ norma del coeficiente de menos de 1, que la gente llama a veces el "Medibles teorema de Riemann", no estaba disponible en Teichmüller del tiempo. Fue publicado por primera vez por Boyarski en 1955.

Esto más o menos constituye el original "Teichmuller teoría". Más tarde, el significado del término sustancialmente ampliado, para incluir casi todo acerca de los espacios de moduli.

EDIT. La buena noticia es que todos los principales papeles de Teichmuller ahora están disponibles en inglés:

MR3560242 Manual de teoría de Teichmüller. Vols. IV,V,VI. La European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2016. (Cada volumen contiene las traducciones de varios artículos de Teichmuller)

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