¿La función zeta de Riemann es sobreyectiva o pierde un valor?
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La Riemann zeta función es surjective. En primer lugar, $\zeta(1/z)$ es holomorphic en el disco perforado $0<|z|<1$. Mirando a $z=(1/2+it)^{-1}$ con $t\to\infty$ revela que $\zeta(1/z)$ tiene una singularidad esencial en $z=0$, por lo tanto $\zeta(s)$ echa de menos a más de un valor. Si $\zeta(s)=w$ entonces $\zeta(\overline{s})=\overline{w}$, por lo tanto $\zeta(s)$ pueden faltar sólo un valor real. Sin embargo, $\zeta(s)$ mapas de la real intervalo de $(1,\infty)$ a $(1,\infty)$, y el verdadero intervalo de $(-2,1)$ a $(-\infty,0)$. También se $\zeta(-19)>1$ e $\zeta(-18)=0$, por lo tanto $\zeta(s)$ mapas de $[-19,-18]$ a un verdadero intervalo que contiene a $[0,1]$. Por lo $\zeta(s)$ no se pierde cualquier valor real, y por lo tanto, no se pierde cualquier valor complejo.
Chris
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$\zeta$ función sólo tiene un polo en $z=1$. También tiene el fin de $1$. Si $\zeta$ omite $c\in C$ entonces $g:=1/(\zeta-c)$ se completa con un cero simple en $1$. Como es de orden $1$, debe ser $g(z)=(z-1)e^{az+b}$, por Hadamard del teorema de factorización, por lo que $$\zeta(z)=(z-1)^{-1}e^{-az-b}+c,$$ lo cual es absurdo.
La fórmula que escribí es la forma general de un no-surjective función de meromorphic de orden de $1$ con un solo polo en $1$ y omitiendo $c$.
La referencia de Hadamard de la factorización es el teorema de cualquier texbook en variables complejas, por ejemplo Ahlfors, Análisis Complejo, o Titchmarsh, la Función de la Teoría, o Whittaker Watson, o lo que tengas.
