Deje $(X_\alpha)_{\alpha \in A}$ ser una familia de variables aleatorias booleanas $X_\alpha: \Omega \to \{0,1\}$ sobre un espacio de probabilidad $\Omega = (\Omega, {\mathcal F}, {\mathbf P})$. Deje ${\mathcal S}$ ser una familia de boolean frases que cada involucrar a un número finito de la $X_\alpha$. Supongamos que cada frase $S \in {\mathcal S}$ es casi seguramente satisfecho por la $(X_\alpha)_{\alpha \in A}$. Se puede entonces "reparación" de las variables aleatorias mediante la localización más variables aleatorias $(\tilde X_\alpha)_{\alpha \in A}$ con cada una de las $\tilde X_\alpha$ casi seguramente igual a $X_\alpha$, de tal manera que el $\tilde X_\alpha$ seguramente satisfacer todas las frases $S \in {\mathcal S}$?
Si $|A| \leq \aleph_0$ (es decir, hay en la mayoría de los countably muchas variables aleatorias), a continuación, la tarea es fácil, para, a continuación, el conjunto de oraciones $S$ es también en la mayoría de los contables, y (debido a que el contable de la unión de null eventos es nulo) no hay un solo evento null $N$ fuera de la cual la $X_\alpha$ ya que satisfará todas las frases $S$. En particular, existe un determinista elección $X_\alpha^0 \in \{0,1\}$ booleano de entradas que satisfacen todas las frases, y si uno de los conjuntos de $\tilde X_\alpha$ a la igualdad de $X_\alpha$ fuera de $N$ e $X_\alpha^0$ en $N$, obtenemos la demanda.
Si $|A| \leq \aleph_1$ (es decir $A$ tiene más de la cardinalidad de la primera innumerables ordinal) y $\Omega$ es completa, luego de una ligera variante del argumento anterior también funciona. Bien podríamos orden de $A$ , de modo que cada elemento $\alpha$ tiene más de countably muchos predecesores. A continuación, el uso de la inducción transfinita de forma recursiva seleccione $\tilde X_\alpha$ casi seguramente igual a $X_\alpha$, con la propiedad de que para todo (no sólo casi todos) los puntos de muestreo $\omega \in \Omega$, la tupla $(\tilde X_\beta(\omega))_{\beta \leq \alpha}$ puede ser extendido a una tupla $(x_\beta)_{\beta \in A}$ resolver todas las frases $S \in {\mathcal S}$. En efecto, si tales variables $\tilde X_\beta$ ya han sido construidos para todos los $\beta < \alpha$, entonces la variable aleatoria $X_\alpha$ ya tienen esta propiedad fuera de un conjunto null $N_\alpha$ (aquí utilizamos el hecho de que el conjunto de tuplas en la metrisable espacio de $\{0,1\}^{\{ \beta: \beta \leq \alpha\}}$ que puede ser extendida es la imagen continua de un compacto conjunto y es por lo tanto cerrado y medibles). Para cada una de las $\omega \in N_\alpha$, existe al menos una selección de $\tilde X_\alpha(\omega)$ que obedecer a la necesaria extensión de la propiedad, gracias a la compacidad teorema; usando el axioma de elección para definir arbitrariamente $\tilde X_\alpha$ sobre este valor null conjunto, se obtiene un $\tilde X_\alpha$ con las propiedades necesarias (es medible porque $\Omega$ es asumido completa) y, a continuación, toda la tupla $(\tilde X_\alpha)_{\alpha \in A}$ seguramente va a satisfacer a todas las frases $S \in {\mathcal S}$. [Puede ser posible caída de la integridad hipótesis aquí apelando a una medibles selección teorema; no he pensado en esto con cuidado.]
Otro caso ilustrativo donde la respuesta es afirmativa es si $A$ es arbitrario y ${\mathcal S}$ es sólo la colección de la igualdad de penas de $X_\alpha = X_\beta$ para $\alpha,\beta \in A$. Así tenemos a $X_\alpha=X_\beta$ casi seguramente para cada una de las $\alpha,\beta$, y que deseamos modificar cada una de las $X_\alpha$ sobre un valor null para crear nuevas variables aleatorias $\tilde X_\alpha$ tal que $\tilde X_\alpha = \tilde X_\beta$. Tenga en cuenta que para cada una de las $\omega \in \Omega$ no es necesariamente el caso (incluso después de la eliminación de un conjunto null) que todos los $X_\alpha(\omega)$ son iguales entre sí (por ejemplo, suponga $A=\Omega=[0,1]$ e $X_\alpha(\omega) = 1_{\alpha=\omega}$), pero sin embargo, el problema se resuelve muy fácilmente, en este caso por arbitrariamente la selección de un elemento $\alpha_0$ de $A$ y la definición de $\tilde X_\alpha := X_{\alpha_0}$.
Sin embargo, no tengo una buena intuición en cuanto a si la respuesta a esta pregunta es afirmativa en general, incluso si se supone que el buen propiedades en la probabilidad de espacio $\Omega$ (por ejemplo, que es un estándar de probabilidad en el espacio). La aparición del cardenal $\aleph_1$ indicios de que tal vez la respuesta es sensible a indecidible los axiomas de la teoría de conjuntos.
(Para mi la mejor aplicación finalmente me lo como para reemplazar el booleano espacio de $\{0,1\}$ , con un intervalo $[0,1]$ o de otro polaco espacios, y las sentencias $S$ con el cierre de las condiciones de participación de un número finito o countably muchas de las variables en un momento, pero el Booleano caso ya parece trivial y captura gran parte de la esencia del problema).
EDIT: La siguiente "cerca de la contraejemplo" también puede ser sugerente. Set $\Omega = [0,1]$, vamos a $A = 2^{[0,1]}$ ser el juego de poder de $\Omega$, y deje $\mathcal{S}$ ser el conjunto de oraciones $X_\alpha = X_\beta$ donde $\alpha,\beta \subset [0,1]$ difieren en más de un punto. Si uno de los conjuntos de $X_\alpha(\omega) := 1_{\omega \in \alpha}$, entonces uno moralmente tiene que el $X_\alpha$ casi seguramente satisfacer todas las frases en $S$, pero que no hay manera de reparar el $X_\alpha$ a variables aleatorias $\tilde X_\alpha$ que seguramente satisfacer las ecuaciones como esto obligaría a $\tilde X_{[0,1]} = \tilde X_\emptyset$ mientras $X_{[0,1]}=1$ e $X_\emptyset = 0$. Sin embargo, esto no es en realidad un contraejemplo porque la mayoría de las $X_\alpha$ no son medibles. (Eliminado debido a errores)
