Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo y de la vista de $M_n(k)$ $\mathbb{A}^{n^2}$. $A\in M_n(k)$ es nilpotent si y sólo si $A^n=0$. Puesto que la ecuación $A^n=0$ está dado por $n^2$ ecuaciones polinómicas, se define una variedad en $\mathbb{A}^{n^2}$. ¿Cuál es la dimensión de esta variedad? Es irreducible? Si no, ¿cuáles son sus irreductible componentes?
Respuestas
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Para demostrar irreductibilidad, tenga en cuenta que cualquiera de los dos regulares nilpotent $n\times n$ matrices (es decir, nilpotent matrices cuyos mínimos poli. es $X^n$) son conjugadas (colocándolos en forma normal de Jordan), y que cualquier no-regular de la matriz puede ser escrito como un "límite" de los regulares (lo puso en Jordania forma, de poner una entrada $t$ en cualquiera de las entradas inmediatamente por encima de la diagonal que son cero, y deje $t \to 0$).
De esto podemos ver que (a) el lugar geométrico de regular nilpotent elementos es irreductible (es la imagen de $GL(n)$ bajo la conjugación de la acción en cualquier regulares nilpotent), y (b) el conjunto de nilpotent cono (otro sinónimo de la palabra nullcone en Jim respuesta) es irreducible, siendo el cierre de la regular nilpotent elementos.
Un simple cálculo muestra que el centralizador de regular nilpotent es $n$-dimensiones (es el periodo de $I, A, \ldots, A^{n-1}$), y por lo tanto la imagen de un regular nilpotent bajo la conjugación de la acción de $GL(n)$ $n^2 - n$ dimensiones. De nuevo considerando (a) y (b) anteriores, vemos que el nilpotent de cono es $n(n-1)$-dimensional.
Tenga en cuenta también que la ecuación de $char(A) = 0$ da $n$ ecuaciones de corte de la nilpotent de cono, por lo que es una completa intersección, y, en particular, Cohen--Macaulay (a pesar de que no es fácil, a menos que $n = 1$). Un poco más de argumento se basa en esto para mostrar que es regular en codimension uno (es decir, su singular locus se encuentra en codimension dos), y por lo tanto que es normal (por Serre del criterio de normalidad).
user56747
Puntos
1
Es la dimensión de es $n(n-1)$ y de hecho es irreducible.
La variedad que usted está describiendo es la nullcone de la Mentira álgebra $\mathfrak{gl}_n$. Es conocido (tal vez con un poco de hipótesis que $\mathfrak{gl}_n$ satisface) que el nullcone de una Mentira álgebra es irreductible, y su dimensión es dos veces la dimensión de un máximo de unipotentes subalgebra. En el caso de $\mathfrak{gl}_n$ este será el subalgebra $\mathfrak{u}_n$ de triangular superior matrices con cero en la diagonal, que tiene dimensión $\frac{1}{2}n(n-1)$.
Estos dos hechos son duros, no puedo explicar la prueba aquí. Si quieres una referencia, ver Jantzens sección de la Birkhauser Mentira Teoría de libro.
