Shimura-Taniyama-Weil contra los dessins de Grothendieck

Question

Al escuchar la hermosa conferencias a cargo de Gilles Schaeffer, en el SLC68, los siguientes (tal vez loco) pregunta se me ocurrió: ¿alguien intento (éxito?) para combinatoria demostrar la modularidad de curvas elípticas mediante dessins d'enfant?

Por supuesto que no estoy hablando de una combinatoria prueba de que el resultado general debido a Wiles, Taylor, Breuil, Conrad y Diamante. Si tal cosa existiera, todo el mundo y su perro han oído hablar de ella. Estoy interesado en aprender acerca de la combinatoria de las pruebas, si las hubiere, incluso para los muy modestos ejemplos. Como yo no sé nada sobre el tema, las referencias a la literatura relevante, se agradecería.

Esta pregunta se puede dividir en las siguientes tres:

1) ¿se Puede decir `mirando un dessin " si la curva correspondiente se define sobre $\mathbb{Q}$? Si esto es demasiado difícil, se puede construir una explícita de la colección de dessins, que las capturas de todas las curvas elípticas definidas sobre $\mathbb{Q}$?

2) ¿un saber explícito dessins para todos modular curvas?

3) Deje $X\rightarrow\mathbb{P}^1$ e $Y\rightarrow\mathbb{P}^1$ ser dos cubiertas dada por dessins. Hay algunos criterios suficientes para la existencia de una cubierta $X\rightarrow Y$?

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Loco adición a un loco le pregunta:

Se puede "contar" $H_{X,Y}$ el número de portadas en la pregunta 3)? De nuevo, estoy hablando de ejemplos.

Answer 1

1. No debería ser demasiado difícil encontrar algunas condiciones necesarias y algunas condiciones suficientes, por ejemplo, el complejo de la conjugación de los actos en dessins por la reflexión, por lo que un dessin definidas sobre Q sin duda debe tener una simetría de espejo.

2. Sin duda, uno puede dar un explícito dessin para todo el sistema modular de curvas, ya que todos ellos tienen un mapa a $X(1) \cong \mathbb P^1$ se ramifica a través de sólo $3$ puntos (la elíptica puntos y la cúspide), la condición previa para un dessin. Uno puede calcular de ella mirando el grupo de acción de $\Gamma/\Gamma(N)$.

3. La existencia de un mapa que los factores a través del mapa a $\mathbb P^1$ es una evidente condición suficiente. Es bastante fácil de comprobar, pero parece muy poco probable que sea lo suficientemente fuerte. Yo esperaría que el problema es muy difícil en general.

Answer 2

Esto no responde a tu pregunta. Pero era un poco demasiado largo para poner un comentario.

En primer lugar, parece que la siguiente pregunta vieja es de cierta relevancia.

Las familias de curvas para que el Belyi de grado puede ser fácilmente limitada

De hecho, dessins $X\to \mathbf{P}^1$ también son llamados Belyi mapas/morfismos/funciones $X$. Yo quería saber de curvas para las que uno ha de límites explícitos en el Belyi grado, es decir, el grado mínimo de un dessin $X\to \mathbf{P}^1$. Aquí están los ejemplos

1. Fermat curvas
2. Modular curvas (congruencia o no congruencia)
3. Hurwitz espacios (ver JSE, la respuesta a la pregunta anterior)
4. Galois curvas de Belyi = Wohlfahrt-curvas = Galois de tres puntos cubre
5. Elkies, las curvas (véase su respuesta a la pregunta anterior).

Permítanme elaborar en 2. Si $\Gamma\subset \mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$ es un índice finito subgrupo, se puede considerar el cociente $Y_\Gamma = \Gamma\backslash \mathbf{H}$ donde $\mathbf{H}$ es el complejo de la mitad superior del plano-y $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$ actúa en $\mathbf{H}$ por las transformaciones de Möbius. La curva de $Y_\Gamma$ natural hereda la estructura de un conectada superficie de Riemann de $\mathbf{H}$. Nos compactify $Y_\Gamma$ mediante la adición de "cúspides". El compactification de $Y_\Gamma$ es usualmente denotado por $X_\Gamma$. Tenga en cuenta que hay una natural mapa de $Y_\Gamma \to Y_{\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})} = Y(1)$ inducida por la inclusión $\Gamma\subset \mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$. Este morfismos se extiende a la compactifications $X_\Gamma \to X(1)$ e induce un dessin $X_\Gamma \to \mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ después de componer con el isomorfismo dada por la $j$-invariante $j:X(1)\to\mathbf{P}^1(\mathbf{C}$. (Los puntos de ramificación son la elíptica puntos $0$, $1728$ y la cúspide $\infty$ de %de$X(1)$.)

Permítanme dirección de su tercera pregunta. El de arriba es sobre la segunda pregunta. No tengo mucho que decir sobre su primera pregunta, por desgracia. ¿Qué entiende usted por un dessin que "captura" de todas las curvas elípticas sobre $\mathbf{Q}$?

En primer lugar, asumir que $X\to \mathbf{P}^1$ es un dessin de primer grado. Es claro que esta morfismos no factor.

Me da la sensación (pero puedo estar equivocado) que usted está interesado en modular el proceso de parametrización de curvas elípticas en el siguiente sentido. Quieres saber si el explícito dessins en $X_0(n)$ puede ser demostrado que el factor a través de algunos de curva elíptica. Si este es el caso, la respuesta es probable que no sea para $n$ a lo grande.

Ahora, usted puede enlazado el número de dessins en una curva de $X$ de grado determinado $d$ por el número de dessins de grado $d$, es decir, el número de topológico cubre de $\mathbf{P}^1-\{0,1,\infty\}$.

Pero su $H_{X,Y}$ será cero o infinito.

De hecho, si no es cero, entonces existe un dessin $X\to \mathbf{P}^1$ que factores a través de un dessin $Y\to \mathbf{P}^1$. Pero Belyi demostrado que para cualquier conjunto finito $B\subset \mathbf{P}^1(\overline{\mathbf{Q}})$ existe un dessin $R:\mathbf{P}^1_{\mathbf{Q}}\to\mathbf{P}^1_{\mathbf{Q}}$ (definido más de $\mathbf{Q}$ aun!) tal que $R$ envía $B$ para el conjunto de $\{0,1,\infty\}$. Así que a partir de un determinado factorización $X\to Y\to \mathbf{P}^1$, se pueden construir un número infinito de diferentes dessins (y asociados factorizations).

El párrafo anterior es simplemente aplicando el hecho de que, dado un dessin $f:X\to \mathbf{P}^1$, se pueden construir un número infinito de dessins $g :X\to \mathbf{P}^1$ componiendo $f$ con un arbitrario dessin en $\mathbf{P}^1$. (Belyi, en realidad, daba un algoritmo para calcular un dessin $R$ a $\mathbf{P}^1$ asociado a $B$ arriba.)

Así que, para hacer sentido de su pasado "loco" de la pregunta, usted podría querer arreglar un dessin $X\to \mathbf{P}^1$ a $X$ e intentar mirar posible factorizations, donde $Y\to \mathbf{P}^1$ es un dessin y $Y$ no es fijo. Por lo tanto, vamos a $H_{\pi}$ el número de pares de $(Y,f)$ hasta isomorfismo, donde $f:Y\to \mathbf{P}^1$ es un dessin y existe una factorización de la $g:X\to Y$ tal que $\pi = fg$.

Creo que no es posible dar una fórmula precisa para $H_\pi$ fácilmente, pero es ciertamente posible para limitar este número, en términos del grado de su dessin.