¿Prueba sin caracteres de que el kernel de Frobenius es un subgrupo normal?

Question

La pregunta está en el título, pero aquí hay algunos antecedentes/recordatorios:

Un subgrupo $H\neq\{1\}$ de un grupo finito $G$ se llama Frobenius complemento si $H\cap H^g = \{1\}$ para todos los $g\in G\backslash H$. Dado un Frobenius complemento, la correspondiente Frobenius núcleo se define por $$ N = \left(G\barra invertida\bigcup_{x \in G}H^x\right)\cup\{1\}. $$ Frobenius demostrado que $N$ es un subgrupo normal de $G$, de donde se sigue inmediatamente que $G$ es un semidirect producto de $N$ e $H$. Frobenius de la prueba es una pequeña joya de las matemáticas, la utilización de caracteres de la teoría. Es ahora más de 100 años y, al menos al principio de este siglo, sin alternativas de la prueba era conocido. Mi pregunta es sólo una solicitud de confirmación, para que yo no debería de decir algo falso en mi próxima representación de la teoría de la conferencia:

Hay todavía ninguna prueba de no utilización de caracteres de la teoría del hecho de que un Frobenius el núcleo es un subgrupo normal?

Answer 1

No hay mucho que decir aquí. Hay (hasta ahora) no hay prueba de este hecho, sin carácter de la teoría. Aunque creo que hay un recuento directo de la prueba al $H$ incluso ha pedido, y una transferencia de argumento dice usted que en un mínimo de contraejemplo, $H$ debe ser perfecto (desde $H$ es una Sala de subgrupo de $G$). Por lo tanto en un mínimo de contraejemplo, $H$ debe ser un no-trivial perfecto grupo de orden impar. No hay tal grupo, pero demostrando que requiere mucho más carácter de la teoría de la prueba de Frobenius.

Answer 2

También puede estar interesado en las siguientes referencias:

K. Corrádi y E. Horváth, Pasos hacia una prueba elemental del Teorema de Frobenius, Comm. en Álgebra, 24, No. 7 1996, 2285-2292.

Paul Flavell, Una nota sobre los grupos Frobenius, Journal of Algebra, 228, 2000, 367-376.

(Espero no haberlo estropeado demasiado).

Answer 3

Tal vez no es demasiado tarde para elaborar Geoff respuesta. Para el caso cuando el subgrupo $H$ incluso ha pedido, H. Bender tiene un carácter libre de la prueba, de hecho, bastante corto. Siguiente, cuando $H$ es solucionable, O. Grün tiene un carácter libre de la prueba, basada fundamentalmente en una transferencia de argumento (esta prueba parece ser bastante similar a uno por R. H. Shaw). Ahora, por el Hecho-Thompson impares en orden teorema de estos dos casos de agotar todas las posibilidades para $H$; pero, lamentablemente, la extraña orden teorema es más profunda y en su prueba de que hay un montón de carácter teoría!

Answer 4

Creía que permite aún más el carácter de la teoría, es decir, Brauer a la caracterización de los personajes, hay una forma de demostrar este teorema de Frobenius que es más susceptible de generalización. Recordemos que Brauer a la caracterización de los personajes afirma que una función de la clase $\theta$ de un grupo finito $X$ es un carácter generalizado y sólo si ${\rm Res}^{X}_{E}(\theta)$ es generalizada del carácter de cada Brauer primaria subgrupo $E$ de % de$X$, en un Brauer primaria subgrupo de $X$ es un subgrupo que es un producto directo de una $p$-grupo y un grupo cíclico para un primer $p$ (que no se fija en esta definición). Es fácil ver bajo la hipótesis de Frobenius teorema de que cada Brauer primaria subgrupo de $G$ es conjugado a un subgrupo de $H$ o más tiene el fin de coprime a $|H|$. De ello se sigue, entonces, que cuando se $\mu$ es una irreductible carácter de $H$, podemos extender $\mu$ a una bien definida generalizada de caracteres ${\tilde \mu}$ de % de $G$ mediante el establecimiento ${\tilde \mu}(x) = \mu(1)$ cada vez que el orden de $x$ es coprime a $|H|$ e ${\tilde \mu}(x) = \mu(h)$ siempre $x$ es $G$-conjugado de a $h \in H.$ Una vez hecho esto, la existencia de la complementan $K$ sigue como antes. Hay muchos otros "complemento normal" teoremas que puede ser demostrado por métodos similares, por autores como Brauer, Suzuki, Dade y de Reynolds. De hecho, el uso de "confiando inocentemente incrustada" subconjuntos para producir isometrías en el carácter de los anillos se produce en la prueba de la Feit-Thompson impar orden teorema, y se utiliza para eliminar algunos de los difíciles grupo residual de la teoría de las configuraciones.