Para enteros$a \ge b > 1$ ¿es$f(a,b) = a^b + b^a$ inyectable?

Question

Dados dos enteros $a \ge b >1$, podemos codificar como un único entero $a^b + b^a$?

---

Me preguntó esta cuestión en matemáticas.SÍ, y después de sobrevivir una semana con una recompensa, parece que esta pregunta es más difícil de lo que pensaba al principio.

Al parecer, estas cosas han sido nombrados Leyland Números, pero ninguno de la literatura que he sido capaz de encontrar en ellos proporciona la prueba de que no se repita.

Answer 1

Voy a demostrar que si asumimos que el $abcd$ conjetura (que es el caso de $n=4$ de Browkin y Brzezinski s $n$-conjetura que generaliza la $abc$ conjetura), a continuación, $a^b+b^a=c^d+d^c$ tiene sólo un número finito de soluciones con $\{a,b\}\neq \{c,d\}$.

El $abcd$ conjetura afirma que si $a,b,c,d$ son enteros con $a+b+c+d=0$ y un valor distinto de cero subsums (es decir, $a+b+c\neq 0$ etc.), $\gcd(a,b,c,d)=1$ e $\varepsilon>0$, luego $$\max\{|a|,|b|,|c|,|d|\}\leq K_{\varepsilon} \text{rad}(abcd)^{3+\varepsilon}$$ (es suficiente para nosotros para asumir la conjetura con absoluta constante en lugar de $3+\varepsilon$). Aquí $\text{rad}(m)$ es el producto de los primos divisores de $m$. Dado que Mochizuki parece que han demostrado la $abc$ conjetura y algunas generalizaciones de la misma, tal vez la $abcd$ conjetura no es tan lejano que una suposición.

Si $a^b+b^a=c^d+d^c$ e $\gcd(a,b,c,d)=1$, obtenemos $$\max\{a^b,b^a,c^d,d^c\}\leq K_{\varepsilon}\text{rad}(a^bb^ac^dd^c)^{3+\varepsilon}=K_{\varepsilon}\text{rad}(abcd)^{3+\varepsilon}\leq K_{\varepsilon}(abcd)^{3+\varepsilon},$$ unless some subsum of $a^+b^c^d-d^c=0$ is zero, which would give $a^b=c^d$ and $b^a=d^c$ (or vice versa), but then $a$ and $c$ have the same prime factors, and writing $a=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}, b=\prod_{i=1}^s p_i^{\beta_i}$, we see from $a^b=c^d$ that $\frac{\alpha_i}{\beta_i}=\frac{d}{b}$, which is independent of $i$, so $a\a mediados de c$ or $c\mediados de los a$. Similarly $b\mediados de la d$ or $d\mediados de b$. After this it is easy to see that $a^b=c^d$, $b^a=d^c$ has no nontrivial solutions. In fact, if for instance $d=kb,a=\ell c$, then after simplification the equations become $\ell=c^{k-1},k=b^{\ell-1}$, so $k\geq 2^{\ell-1}$ and then $\ell\geq 2^{2^{\ell-1}-1}$. Hence $\ell=2$ and similarly $k=2$ (or $\{a,b\}=\{c,d\}$), but then $b=c$, and thus $a=d$.

Ahora podemos asumir que la subsums son cero. Elija $\varepsilon=1,$ dicen, y deje $d=\max\{a,b,c,d\}$. A continuación,$2^d\leq c^d\leq K_1\text{rad}(abcd)^4\leq K_1\cdot d^{16}$, lo $d$ está delimitado por una absoluta constante, y por lo tanto, $a,b,c,d$ son todos limitada.

Ahora suponga $r=\gcd(a,b,c,d)>1$. El siguiente paso es mostrar que $r$ está acotada. Ahora $a^b+b^a=c^d+d^a$ es de la forma $x^r+y^r=z^r+w^r$ donde $x=a^{\frac{b}{r}},...,w=d^{\frac{c}{r}}$. Vamos a mostrar que el si $r$ es grande y $(x,y,z,w)$ es cualquier cuádruple de enteros positivos satisfacer $x^r+y^r=z^r+w^r$,, a continuación,$\{x,y\}=\{z,w\}$. Por homogeneidad, es suficiente para mostrar que el coprime soluciones satisfacen $\{x,y\}=\{z,w\}.$ Ya que se les permitió hacer la suposición de $\gcd(x,y,z,w)=1$, la $abcd$ conjetura implica $$\max\{x^r,y^r,z^r,w^r\}\leq K_1\text{rad}(x^ry^rz^rw^r)^4\leq K_1(xyzw)^4,$$ a menos que un subsum de $x^r+y^r-z^r-w^r$ se desvanece, lo que conduce a $\{x,y\}=\{z,w\}$. Si el subsums son cero y $w=\max\{x,y,z,w\}$,, a continuación,$w^r\leq K_1w^{16}$, lo $r$ es limitada o $w=1$. El último caso conduce a $x=y=z=w=1$. Por lo tanto, para un gran $r$, las únicas soluciones a $x^r+y^r=z^r+w^r$ son aquellos donde la $\{x,y\}=\{z,w\}$. Así también se $\{a^b,b^a\}=\{c^d,d^c\}$, que ya estaba visto para no dar soluciones no triviales.

Por último, vamos a $M$ ser una absoluta constante que es un límite superior para $r$. Deje $R=\gcd(a^b,b^c,c^d,d^c)$. Se aplica el $abcd$ conjetura de una vez de nuevo para ver que $\max\{\frac{a^b}{R},\frac{b^a}{R},\frac{c^d}{R},\frac{d^c}{R}\}\leq K_1\text{rad}(abcd)^4$. Ahora si $abcd$ no tiene ningún divisor primo mayor que $M$, tenemos $$\min\{a^b,b^a,c^d,d^c\}\geq R\geq c_0\max\{a^b,b^a,c^d,d^c\}$$ para algunos absoluta constante $c_0>0$. Ahora bien, si existe un prime $p_1$ que divide a algunos de $a,b,c,d$, pero no a todos ellos, entonces $$R\leq \prod_{p\leq M, p\neq p_1}p^{\min\{v_p(a^b),v_p(b^a),v_p(c^d),v_p(d^c)\}}\leq \frac{\max\{a^b,b^a, c^d, d^c\}}{2^{\min\{a,b,c,d\}}}\quad \quad (1).$$ Si no $p_1$ existe, todos los números de $a,b,c,d$ tienen los mismos factores primos. Deje $a=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i},...,d=\prod_{i=1}^s p_i^{\delta_i}$. La condición de $\gcd(a,b,c,d)\leq M$ dice $\min\{\alpha_i,\beta_i,\gamma_i,\delta_i\}\leq M$. Deje $P^{\delta}$ ser la mayor potencia principal dividiendo $d$. A continuación, $\min\{v_{P}(a),v_{P}(b),v_{P}(c)\}\leq M$ si $d$ es grande. Por ejemplo, supongamos $v_{P}(c)\leq M$. Escribir $d=P^{\delta}D,c=P^{\gamma}C$ donde $P\nmid C,D$. Entonces $$R=\gcd(a^b,b^a,c^d,d^c)\leq \gcd(c^d,d^c)\leq P^{Md} D^c=P^{Md-c\delta}d^c\leq M^{Md}d^{-\frac{c}{s}}d^c,$$ donde $s\leq M$ es el número de factores primos de $d$. La última cantidad es en la mayoría de las $\left(\frac{d}{2}\right)^c$ si $\frac{1}{2}d^{\frac{1}{s}}\geq M^{\frac{Md}{c}},$ que tiene de grande lo suficientemente $d$ si $\frac{d}{c}$ está acotada. Es de hecho debe ser limitada, pues tuvimos $\frac{c^d}{d^c}\geq c_0$. Por lo tanto, $(1)$ tiene de nuevo para todos los gran $d$.

A continuación se muestra que $(1)$ sostiene también si $a,b,c,d$ tienen algunos factores primos mayor que $M$, y, a continuación, utilizar $(1)$ a deducir una contradicción.

Ahora uno de $a,b,c,d$ tiene un primer factor de $p_0>M$. Por ejemplo, supongamos $p_0\mid d$. Entonces $$R\leq \prod_{p\leq M}p^{v_p(d^c)}\leq \left(\frac{d}{p_0}\right)^c\leq \frac{\max\{a^b,b^a,c^d,d^c\}}{2^{\min\{a,b,c,d\}}},$$ por lo $(1)$ deben estar siempre en posesión de un gran $d$. Sin embargo, tuvimos $R\geq \frac{\max\{a^b,b^a,c^d,d^c\}}{K_1\text{rad}(abcd)^4}\geq \frac{\max\{a^b,b^a,c^d,d^c\}}{K_1 d^{16}}$. Por lo tanto $K_1d^{16}\geq 2^{\min\{a,b,c,d\}}$. Pero
$$\min\{a,b,c,d\}^d\geq \min\{a^b,b^a,c^d,d^c\}\geq R\geq \frac{\max\{a^b,b^a,c^d,d^c\}}{K_1d^{16}}\geq \frac{c^d}{K_1d^{16}},$$ implica $\min\{a,b,c,d\}\geq k_0c$ para algunas constantes $k_0$,lo $K_1d^{16}\geq 2^{k_0c}$. Todavía tenemos $\frac{d^c}{c^d}\geq \frac{1}{K_1d^{16}}$. En particular, $d^c\geq \frac{2^d}{K_1d^{16}}$, lo $c\geq k_2 \frac{d}{\log d}$. Pero, a continuación, $K_1d^{16}\geq 2^{k_0c}\geq 2^{k_3\frac{d}{\log d}}$ muestra que $d$ es limitado y por lo tanto todos los $a,b,c,d$ son acotados.

Answer 2

Largo para un comentario. He publicado esto en el otro sitio, no hay retroalimentación positiva y una downvote, así que lo borré. Creo que voy a dejar esto aquí, ya que proporciona pistas para los que realmente saben de Diophantine aproximación.

Al parecer, la única forma de obtener dichos valores en cualquier lugar cerca unos de otros (en relación con el tamaño aproximado de los números) es esta: con $a \leq b$ e $c \leq d,$ requieren que $a^b = c^d:$

        a^b   + b^a                                   a    b   

3381391913522726342930221472392241170198527453108273  3   108
3381391913522726342930221472392241174102833364161905  9   54
3381391914570258878524555694985750092390198488063857  27   36


1532495540865888858358347027150309183618739122183634576  2   180
1532495540865888858358347027150309183618739122249212176  4   90
1532495540865888858358347027150309183618907083783602176  8   60
1532495540865888858358347027433057625521180681021492801  16   45
1532558881152551831636053189437255995505349018645430272  32   36

Si se mira de cerca de parejas que no se ajustan a este patrón, se mantienen bien lejos el uno del otro, en esencia, no más de dos acordar inicial dígitos decimales, no importa cuán grande sea el números de conseguir. Así que, creo que hay un Diophantine aproximación aproximación a este, porque es fácil demostrar, en el modelo que se muestran arriba, que los números no son realmente iguales. Por lo que puede ser vale la pena, yo era capaz de adaptarse a los 744 más pequeño de los valores en https://math.stackexchange.com/questions/882987/is-abba-unique-for-all-integers-a-and-b/887719#887719

Si alguien quiere una copia a mirar, tengo un archivo de texto de los más pequeños 1203 números con el a,b valores, sube hasta justo debajo de 10^55. No muestran la a,b valor en https://oeis.org/A076980 y https://oeis.org/A076980/b076980.txt

Bien, corrió hasta el $10^{100}$ y le dijo a la máquina de publicar sólo cuando ninguna de las $a$ ni $c$ es un poder de los otros; la mejor fue la relación de 1.00019 en $a=21,b= 75; \; \; c= 18,d= 79:$

1.00019   1467057395569175013279367871218018520179137565145308058766161340110629908834258848825913627259358376   21   75 ::  18   79

from 
1467057395569175013279367871218018520179137565145308058766161340110629908834258848825913627259358376         21    75     ====
1467330358978795477359675119796677254153876536271837501594000043530917147104689722542557490436631393         18    79     ====

Podemos hacer un poco mejor con una variante de la $a^b = c^d$ cosas de arriba, pero estos no son impresionantes, como prueba de la desigualdad es aún evidente:

1.00002   33554432   8   8 ::  2   25
1   36893488147419103232   16   16 ::  2   65
1   2923003274661805836407369665432566039311865085952   32   32 ::  2   161

Así, por ejemplo, $32^{32} + 32^{32} = 2^{161},$, pero todavía hay una diferencia de $161^2,$ que es pequeño en comparación, pero distinto de cero. De todos modos, el mismo general de la oferta, que tengo los dos archivos de texto si alguien quiere mirar, mi dirección de gmail es mejor.