¿Morfismo de un grupo compacto a Z?

Question

Me pregunto si existe un grupo topológico compacto$G$ (por compacto, me refiero a Hausdorff y cuasi-compacto) y un morfismo grupal distinto de cero$\phi : G \to \mathbb{Z}$ (sin asumir ninguna condición topológica en este morfismo).

Para grupos de Lie compactos, usando el mapa exponencial, las respuestas son no, pero en general no lo sé.

Answer 1

La respuesta es no en general, pero este es un hecho bastante profundo.

Teorema: (Nikolov, Segal) Si$G$ es un grupo topológico compacto de Hausdorff, entonces cada cociente finito (abstracto) de$G$ es finito.

N. Nikolov y D. Segal, generadores y conmutadores en grupos finitos; cocientes abstractos de grupos compactos , arXiv, http://arxiv.org/abs/1102.3037

Answer 2

Andreas disparó primero, pero aún animo a todos a echar un vistazo al lema en la página 263 de R. Alperin, Grupos localmente compactos que actúan sobre árboles y propiedades$T$. Monatsh Mates. 93 (1982), no. 4, 261–265: cualquier homomorfismo de un grupo localmente compacto a$\mathbb{Z}$, es continuo. Esto responde a la pregunta de Florent.

Answer 3

Perdón por resucitar a tal pregunta, pero creo que podemos dar mucho más simple prueba aquí. Vamos a reducir el problema de $G$ a la Bohr compactification $B\mathbf{Z}$ de % de$\mathbf{Z}$, luego de $B\mathbf{Z}$ a la profinite terminación $\hat{\mathbf{Z}}=\prod_p\mathbf{Z}_p$ de % de$\mathbf{Z}$, y, a continuación, vamos a discutir directamente.

Deje $\phi:G\to\mathbf{Z}$ ser un homomorphism y corregir $x\in G$. El mapa de $\mathbf{Z}\to G$ extender $1\mapsto x$ induce un mapa de $B\mathbf{Z}\to G$ tal que $1\mapsto x$, y por lo tanto obtener un mapa $\phi':B\mathbf{Z}\to \mathbf{Z}$ tal que $\phi'(1)=\phi(x)$.

Recordemos que para la construcción de $B\mathbf{Z}$ se toma el doble de $\mathbf{Z}$, es decir,$\mathbf{R}/\mathbf{Z}$, tiras de la topología para obtener el grupo discreto $\mathbf{R}_d/\mathbf{Z}\cong\mathbf{R}_d\times\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$, entonces se necesita el doble de nuevo. El resultado es que el $B\mathbf{Z} \cong B\mathbf{R}\times\hat{\mathbf{Z}}$. Desde $B\mathbf{R}$ es divisible $\phi'$ debe desaparecer en $B\mathbf{R}$. Desde $\prod_{p\neq 2}\mathbf{Z}_p$ es infinitamente $2$-divisibile y $\mathbf{Z}_2$ es infinitamente $3$-divisible, $\phi'$ se desvanece en $\hat{\mathbf{Z}}$. Por lo tanto $\phi'$ es idéntica $0$, lo $\phi(x)=\phi'(1)=0$.