No es una conjetura por Pólya & Szegő (~1950, declaró en p. 159 de su libro Isoperimétrico Inequalties en la Física Matemática), que es como sigue:
"De todos los $n$-ágonos de un área fija, regular $n$-gon minimiza la primera de Dirichlet autovalor."
Sorprendentemente, esto es todavía abierto (a mi conocimiento) para el caso general. La única resuelto casos son los triángulos y los cuadriláteros (ver Henrot de la encuesta). ¿Hay algún progreso en el caso general?
Estoy bastante seguro de que esto todavía está abierto para $n$-ágonos (con $n\geq 5$). Hasta donde yo sé, básicamente, no se ha progresado desde la original de las pruebas para los triángulos/cuadriláteros.
Ha habido algunos datos numéricos, así como algunos refinado de las desigualdades para los triángulos. En este artículo se podrían apuntar hacia algunos de estos resultados.
Curiosamente, una relacionada con la conjetura de Pólya & Szegő se resuelva "regular $n$-gon tiene menos logarítmica de capacidad entre el $n$-ágonos de un área fija" http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2052355.
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