Creo que la declaración puede fallar en el caso de curvas elípticas de buena reducción, incluso cuando $l = p$. Pero entonces tu comentario en
Serre-Tate teoría que me confunde un poco de tiempo! (Una discusión con Jared Weinstein me ayudó a aclarar las cosas.)
El post terminó siendo de largo como un resultado; es en parte por mi propia referencia.
Recientemente FC señaló lo siguiente para mí: si $E$ sobre $\mathbb Q_p$ es una curva elíptica de buena supersingular reducción de
y $p > 3$,, a continuación, $T_p(E)$ (hasta el isomorfismo) no depende de la $E$.
En primer lugar, $a_p = 0$ por el Weil límites. El $p$-ádico Galois representación $\rho := T_p(E) \otimes \mathbb Q_p$ es cristalina
(debido a la buena reducción) de Hodge-Tate pesos 0, 1 con (cristalino) $a_p = 0$. En particular, no es normal así que $\rho$
es (incluso residual) absolutamente irreductible. Es un hecho básico en $p$-ádico Hodge teoría de que cualquiera de los 2-dim. absolutamente
irreductible $G_{\mathbb Q_p}$-representación con distintas Hodge-Tate pesos está determinada únicamente por $a_p$. (Este es
hoy en día un ejercicio sobre débilmente admisible filtrada $\phi$-módulos.) Finalmente, como $\rho$ es residual irreductible, es
se deduce que la celosía $T_p(E)$ es único hasta homothety (en particular, hasta el isomorfismo).
Como Tim notas, isogeny clases son contables. Pero hay una cantidad no numerable de curvas elípticas con buena supersingular
de reducción. (Arreglar un supersingular uno más de $\mathbb F_p$ y considerar los ascensores de la $j$-invariante.)
Me pregunto ¿cómo es en general un fenómeno de esto es que el Galois representación no variar.
Kisin el resultado parece que ha dejado de aplicar en esta $l = p$ de los casos (no de torsión de los coeficientes).
Ahora, aquí es por qué no hay contradicción con Serre-Tate teoría. En primer lugar, es cierto que cualquiera de las dos curvas elípticas
encima tienen isomorfo $p$-divisible entre los grupos de más de $\mathbb Z_p$: la razón es que el $T_p(E)$ (con el Galois de acción), precisamente
nos dice lo $E[p^\infty]$ es de más de $\mathbb Q_p$, y que Tate completa fidelidad teorema dice que esto determina
$E[p^\infty]$ sobre $\mathbb Z_p$. Además, el especial de fibra de $E/\mathbb F_p$ está determinada únicamente hasta isogeny,
porque sabemos $a_p$. [Hay incluso un isogeny más de $\mathbb F_p$, por ejemplo, porque el Dieudonne módulo es el mismo (ver
a continuación), pero no debe ser un modo elemental, a ver que.]
Serre-Tate teoría dice lo siguiente (especializada a nuestra situación). La categoría de curvas elípticas sobre $\mathbb Z_p$ es
equivalente a la siguiente categoría $C$: los objetos consisten en triples $(\mathcal G, \overline E, f : \mathcal G \times \mathbb
F_p \a \overline E[p^\infty])$, where $\mathcal G$ is a $p$-divisible group over $\mathbb Z_p$, $\overline E$ es una curva elíptica
más de $\mathbb F_p$ e $f$ es un isomorfismo de $p$-divisible entre los grupos de más de $\mathbb F_p$. Morfismos consisten en un mapa de
$p$-divisible entre los grupos de más de $\mathbb Z_p$ y un mapa de curvas elípticas sobre $\mathbb F_p$ que son compatibles con el
isomorphisms en el especial de fibras. En esta equivalencia, una curva elíptica $E/\mathbb Z_p$ se asigna a la triple $(E[p^\infty],
E \times \mathbb F_p, puede)$, where $puede$ es el isomorfismo canónico.
Supongamos que tenemos dos curvas elípticas $E_1$, $E_2$ más de $\mathbb Z_p$ anterior (es decir, supersingular reducción y $p >
3$). Then we know that $E_1[p^\infty] \cong E_2[p^\infty]$ and that $E_1 \times \mathbb F_p$ is isogenous to $E_2 \times
\mathbb F_p$. But in order to apply the theorem of Serre-Tate and deduce the existence of an isogeny $E_1 \a E_2$ necesitamos
saber que podemos elegir un mapa de $\alpha : E_1[p^\infty] \to E_2[p^\infty]$ de %de $p$- divisible entre los grupos de más de $\mathbb Z_p$ y un mapa
$\beta : E_1 \times \mathbb F_p \to E_2 \times \mathbb F_p$ de curvas elípticas tal que
$\alpha \times \mathbb F_p = \beta[p^\infty]$ como mapa de $p$-divisible grupos $E_1[p^\infty] \to E_2[p^\infty]$ sobre $\mathbb F_p$.
El problema es que tenemos muy poca flexibilidad: sólo hay countably muchos homomorphisms $E_1 \times \mathbb F_p
\a E_2 \times \mathbb F_p$. But it's hard to lift a map of $p$-divisible groups over $\mathbb F_p$ a un mapa
de $p$-divisible entre los grupos de más de $\mathbb Z_p$:
La categoría de $p$-divisible entre los grupos de más de $\mathbb Z_p$ es equivalente, por los resultados de Fontaine-Laffaille, a la
categoría de cuádruples $(M,M^1,\phi,\phi^1)$ donde $M$ es de un número finito de libre $\mathbb Z_p$-módulo, $M^1$ a $\mathbb Z_p$-directo
sumando ("Hodge filtración"), y $\phi : M \to M$, $\phi^1 : M^1 \to M$ se $\mathbb Z_p$-lineal de mapas que $p\phi^1 = \phi|_{M^1}$ y $\phi(M) +
\phi^1(M^1) = M$. [In our case $M$ is of rank 2 and $M^1$ de rango 1.]
El Dieudonne módulo especial de la fibra de la $p$-divisible grupo está recuperado de la siguiente manera
(referencia?): necesitamos dar un $\mathbb Z_p[F,V]/(FV-p)$-módulo de $D$ que es finito libre como $\mathbb Z_p$-módulo. Tomemos $D
:= M$, $F := \phi$, and $V := pF^{-1}$ (this is defined on $M[1/p]$ initially, but the final condition on $M$ obliga a
preservar $M$). En otras palabras, uno se olvida de la Hodge filtración. Para el levantamiento de $\beta[p^\infty]$ a $\mathbb Z_p$ es difícil debido a un mapa de Dieudonne
los módulos de la no necesidad de preservar la Hodge filtración. (El contable de la flexibilidad que tenemos con $\beta$ no es suficiente para
mover una línea dada a cualquier otro. Tenga en cuenta que $M^1 \otimes \mathbb F_p$ está determinada únicamente como el núcleo de $\phi \otimes \mathbb F_p$; pero, aparte de que $M^1$ es gratuito para variar).
[Por último, un pequeño comentario/pregunta: creo que Tate resultado sobre campos finitos se supone que $l$ se prime a la característica.
Milne-Waterhouse (1971) tiene una versión para $l = p$ donde $T_l$ es reemplazado por el Dieudonné módulo. En este caso
$T_p E$ es sólo el primer cristalina cohomology grupo. Hay un general cristalina analógica de la Tate conjetura?]
Añadido: creo que el isogeny teorema también puede fallar en el caso de buena ordinaria, utilizando el mismo argumento.
Pensar de nuevo en curvas elípticas sobre $\mathbb Q_p$, ahora de buena ordinaria. Vamos a restringir a aquellos curvas elípticas de
una reducción fija $\overline E$ sobre $\mathbb F_p$. Tenemos $a_p \ne 0$, y supongamos por simplicidad que las dos raíces
de $x^2-a_p x + p$ es $\mathbb Z_p$, por lo que son $u$, $pv$ con $u$, $v \in \mathbb Z_p^\times$. Entonces hay una base de
$M$ (la Fontaine-Laffaille objeto asociado a $E[p^\infty]$) tal que $\phi = \begin{bmatrix}u & \\\ & pv\end{bmatrix}$. El
las opciones posibles de $M^1$ son precisamente las líneas generadas por el vector $\begin{bmatrix} px\\\ 1\end{bmatrix}$, donde $x
\in \mathbb Z_p$. The isomorphism class of $M$ (and thus of the Galois representation $T_p E$) sólo depende de la valoración
de $x$, debido a una diagonal de cambio de base de hojas de $\phi$ invariante. Pero hay una cantidad no numerable de $x$ de cualquier fijo positivo
valoración (y por lo tanto las deformaciones de la $\overline E$ a $E$). Por el argumento anterior, estos no pueden ser isogenous.
