Qué series de potencia tienen coeficientes integrales delimitados y tienen un inverso dado por una serie que tiene coeficientes integrales delimitados

Question

Deje $A=1+\sum_{n=1}^\infty \alpha_nx^n\in\mathbb Z[[x]]$ e $B=\frac{1}{A}=1+\sum_{n=1}^\infty\beta_n x^n$ dos mutuamente inversas de alimentación de la serie habiendo delimitado coeficientes enteros (es decir. $\vert \alpha_n\vert,\vert \beta_n\vert<C$ para algunas constantes $C$, y para todos los $n$).

Ejemplos son dados por $A=\frac{P}{Q}$ donde $P$ e $Q$ son tanto finito productos de cyclotomic polinomios de tener sólo simple raíces.

Hay otros, exótico, ejemplos?

De manera más general, considere de nuevo el $A=1+\sum_{n=1}^\infty \alpha_nx^n\in\mathbb Z[[x]]$ con inverse $B=\frac{1}{A}=1+\sum_{n=1}^\infty\beta_n x^n$ y requieren que los coeficientes enteros $\alpha_n,\beta_n$ tienen en la mayoría de polinomio de crecimiento (es decir. existe una constante $C$ tal que $\vert\alpha_n\vert,\vert\beta_n\vert<Cn^C+C$ para todos los $n$).

Ejemplos son ahora arbitraria de las fracciones racionales $A=\frac{P}{Q}$ que implica sólo cyclotomic polinomios. De nuevo, no conozco otros ejemplos. ¿Existen?

Agregado: Esta pregunta está estrechamente vinculada a La suma de los enteros de ser un bijection, ver Zaimi comentario después de Venkataramana la respuesta.

Answer 1

Considere el conjunto$S$ de enteros no negativos cuya$2$ - expansión adic implica solo potencias cuadradas de dos (por ejemplo,$n=1+16$ y$n=2^{25}+2^{49}+2^{64}$ pertenecen a$S$). Deje que$T$ sea el conjunto de enteros cuya$2$ - expansión de adic nunca involucra una potencia cuadrada de dos. Entonces,$(S\cup\{0\})+(T\cup\{0\})$ representa cada número entero positivo solo una vez. Escriba$f(x)=\sum _{k\in S\cup\{0\}}x^k$ y$g(x)=\sum _{k\in T\cup\{0\}}x^k$. Claramente, $f(x)g(x)=\frac{1}{1-x}$. Esto muestra que$f(x)$ y$g(x)(1-x)$ tienen coeficientes enteros limitados, pero no son proporciones de productos de polinomios ciclotómicos.

Answer 2

No es una respuesta completa, sólo para sugerir que no debe haber muchos ejemplos: suponga $f(z)$ es un holomorphic función en la unidad de disco $D$, con continuas no desapareciendo extensión de hasta el $\overline D$ e $f(0)=1$. A continuación, $g(z):=1/f(z)$ también es continua y no desapareciendo hasta el $\overline D$, y por la de Cauchy ruta integral de la fórmula, ambos han delimitado los coeficientes de $\alpha_n$, respectivamente $\beta_n$. Si además , por alguna razón, el $\alpha_n$ son enteros, entonces el $\beta_n$, ya que el $\alpha_0=1$ e $\sum_{j=0}^n\alpha_j\beta_{n-j}=0$ para $n\ge1$.

En otras palabras, una fuente de ejemplos (esperemos que no sea demasiado vacía) son los coeficientes de $(\alpha_n)$ de la energía de la serie de expansiones de la invertible elementos del álgebra $H(D)\cap C^0(\overline D)$, siempre son números enteros con $\alpha_0=1$.

Answer 3

Siguen más ejemplos del artículo de Duffin y Schaeffer, 1945. ingrese la descripción del enlace aquí