Revestimiento del avión con pozos de registro

Question

Algunas formas, como el disco o el Releaux triángulo puede ser utilizado como pozos de registro, que es, se trata de una curva de anchura constante. (El ancho entre dos paralelas tangentes a la curva son independientes de la orientación de la curva.)

(1) Es posible embaldosar el plano con esas formas?

Las formas deben ser simplemente conectado, y todos deben tener un área mayor que en el fijo uniformes $\epsilon.$ De lo contrario, se acababa de azulejo el avión con discos de diferentes diámetros, donde algunos son arbitrariamente pequeño, similar a la Apolíneo círculo. Mediante la ampliación de las baldosas, podemos tomar $\epsilon=1$.

Como una nota, una pregunta anterior aquí en MO dio una respuesta positiva sobre la existencia de la no-convexo, simplemente se conecta pozos de visita.

Algunas aclaraciones: Por el suelo de baldosas, queremos decir que todas las bocas de acceso utilizados son conjuntos cerrados, y no hay ninguna abierta pelota que es, simultáneamente, en el interior de dos bocas. Por lo tanto, los límites de los registros puedan cruzarse. Nota, podemos utilizar diferentes bocas de acceso en un suelo de baldosas (de lo contrario, esencialmente estamos pidiendo una solución para el abierto de einstein problema).

Si la respuesta es negativa, una pregunta más general es la siguiente. Definir la redondez de un objeto como el ancho mínimo dividido por el ancho máximo de la forma (la anchura es la distancia entre dos paralelas iguales tangentes). La redondez de un círculo o un Releaux triángulo es 1, y la plaza ha redondez $1/\sqrt{2}.$ Definir la redondez de un mosaico como el mínimo de la redondez de todas formas en el suelo de baldosas.

Para los no-convexo formas, la redondez puede ser definido de la siguiente manera: es el factor necesario para cambiar el tamaño del agujero, de modo que la forma original no puede caer a través de ese agujero. Por ejemplo, un cuadrado con lados de $1$ no puede caer por un agujero cuadrado con lados de $1/\sqrt{2}.$

(2) ¿Cuál es la mejor posible redondez $R$ un mosaico del plano puede tener?

Trivialmente, $\sqrt{3}/2 \leq R \leq 1$ dado que se puede embaldosar el plano con triángulos equiláteros, y una respuesta positiva a la pregunta 1 da $R=1.$

Las aplicaciones son evidentes: Esta sería una buena forma de teja de techo, en lugar de regular el uso de baldosas cuadradas, que a veces se cae.

Answer 1

Yo creo que @Per quería preguntar (por $n=2$) sobre los siguientes (para arbitrario $\ n>1$):

CONJETURA de UN existe real $\delta_n > 0\ $ tal que para cada familia $\ F\ $ de la limitada anchura constante cuerpos convexos $\ B\in F\ $ tal que cada una de las $\ B\ $ contiene una bola de radio $\ 1\ $ existe una bola abierta $\ K\ $ radio $\ \delta_n\ $ tal que $\ K\subseteq \mathbb R^n\setminus \bigcup F$.

Cada cuerpo convexo $\ B\in F\ $puede tener su propio diámetro (pero tiene que ser $\ \ge 2\ $ debido a la hipótesis sobre una pelota). La constante debe ser sólo una de las constantes,$\ \delta_n\ $, el mismo para todos, dijo que las familias F.

Este parece ser un fácil conjetura. El verdadero desafío parece para calcular el máximo posible de $\ \delta_n.\ $ En un sofisticado caso (no demasiado realista?) el $\ \sup \delta_n\ $ NO puede ser alcanzado.

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COMENTARIOS de La original Pregunta considerado convexos y no convexos de pozos, etc. Ya plazas dar una perfecta colocación de las baldosas. Por lo tanto pensé que todavía es lo suficientemente interesante para concentrarse en una restricción a las alcantarillas que son cuerpos convexos de ancho constante.

Answer 2

(EDIT (declaraciones después de la respuesta real de abajo) Técnicamente palabra de la cubierta permite arbitraria se superpone. Sin embargo, a pesar de la tan conocida definición de la noción de la cubierta, estaba todavía bajo la impresión de que significa la Pregunta agujeros que había de a pares distintos de los interiores. Por lo tanto, mi (modesta) teorema hace esta suposición. En realidad, @Por sí mismo (en su Pregunta) tenía esta aclaración: no es no abrir la bola en el interior de dos bocas.

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Voy a responder a la Pregunta 1 para obtener más general de las formas, y en $\mathbb R^n\ (n>1)$:

(1) Es posible cubrir el plano con esas formas?

Por descuidado pronombre dicho en la pregunta anterior, debemos entender arbitraria delimitada cuerpos convexos (conjuntos cerrados) de anchura constante, donde cada cuerpo tiene su propio ancho.

En su lugar voy a probar más, respondiendo a la pregunta arbitrarias $n$-dimensiones estrictamente convexa adecuada subconjuntos $B\subseteq \mathbb R^n$ (es decir, diferente de $\mathbb R^n$ sí), que no tiene que ser limitada, ya sea:

TEOREMA Deje $\ F\ $ ser arbitraria de la familia de la correcta estrictamente convexa conjuntos cerrados $\ B\subseteq \mathbb R^n\ (n>1)\ $ de manera tal que la intersección de los interiores de cada dos de estos conjuntos es vacía. Luego existen arbitrariamente pequeño cerrado Euclidiana bolas $\ K\ $ tal que $\ K\ $ no está contenido en $\ \bigcup F$.

PRUEBA Si la familia $\ F\ $ está vacía, entonces el teorema sostiene. Por lo tanto vamos a $\ B_0\in F\ $ y deje $\ a\ $ pertenecen a la frontera de $\ B_0.\ $ Entonces existe una arbitrariamente pequeños real $\ r > 0\ $ (es decir, por cada $\ \epsilon > 0\ $ existe reales positivos $\ r < \epsilon\ $) tales que

$$\forall_{B\ C\in F,\ B\ne C}\quad S\cap B\cap C\ =\ \emptyset$$

donde $\ S\ $ es el límite de la esfera de $\ K.\ $ , de Hecho, (1) F es contable, debido a que el vacío interior de las intersecciones; (2) el conjunto de todas las intersecciones de los pares de conjuntos de $\ F\ $ es contable, ya que cada par tiene en la mayoría de un punto de intersección, y (3) no hay continuidad de positivos $\ r<\epsilon\ $ según sea necesario. Ahora vamos a recordar un clásico de Sierpiński del teorema (hm, todos Sierpiński teoremas son clásicos, aunque):

Si un conectada (métrica) espacio compacto $\ X\ $ está cubierto por una contables de la familia $\ F\ $ de pares distintos subconjuntos cerrados de $\ X\ $ entonces $\ F\ $ tiene a lo más uno de los miembros.

Desde $\ S\ $ es compacto y conectado, y $\ S\ $ no está contenido en $\ B_0,\ $ se desprende de la Sierpiński del teorema que

$$\ \bigcup_{B\in F}\ (S\cap B)\ \ \ne\ \ S$$

En consecuencia, $\ F\ $ no cubre $\ K$. FINAL de la PRUEBA

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COMENTARIO 1 Wacław Sierpiński formulado y demostró su teorema para la métrica de espacios compactos (también en general, Siepiński no fue tímido a la hora de utilizar la métrica de los métodos). Pero el teorema vale para arbitrario de espacios compactos. Estoy seguro de que Sierpiński demostró su teorema general antes de espacios compactos fueron introducidos por Alexandrov y Urysohn (como bicompact espacios- tal vez incluso hoy en día general de espacios compactos son llamados bicompacts la mayoría del tiempo?).

COMENTARIO 2 La asunción de la (texto completo de la pregunta original:

    todos deben tener un área mayor que en el fijo uniforme ϵ

no era necesario (como se ve desde mi prueba).